Analiza matematyczna, zadanie nr 277
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
seszene postów: 9 | 2011-12-14 17:40:57 Proszę o pomoc w sprawdzeniu ciągłości tych funkcji, proszę o wyjaśnienie jak to sprawdzić na dowolnym przykładzie, z góry dziękuję $a)f(x)=sgn(sinx)$ b)$f(x)=x-[x]$ c)f(x)=x[x] d)$f(x)=[x]sin\pix$ e)f(x)=$x^{2}-[x^{2}]$ f)f(x)=$[\frac{1}{x^{2}}]sgn(sin\frac{\pi}{x})$ g)f(x)=$arctg(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2})$ h)f(x)=$\frac{x^{2}}{(x+1)(x-3})$ |
tumor postów: 8070 | 2012-09-26 21:24:49 Ciągłość funkcji w punkcie dowodzi się łatwiej z definicji Cauchy'ego, a nieciągłość z definicji Heinego. Obie definicje łatwo znaleźć gdziekolwiek. ;) a) $f(x)=sgn(\sin x)$ gdzie $sgn x =\left\{\begin{matrix} 1 &&\mbox{dla }x>0 \\ 0 &&\mbox{dla } x=0 \\-1 &&\mbox{dla } x<0 \end{matrix}\right.$ Sinus sobie faluje raz pod osią, raz nad osią, otrzymamy $sgn(\sin x)=\left\{\begin{matrix} 1 &&\mbox{dla }x\in (2k\pi, 2k\pi+\pi) \\ 0 &&\mbox{dla } x=k\pi \\-1 &&\mbox{dla } x\in (2k\pi+\pi, 2k\pi) \end{matrix}\right.$ dla $k$ całkowitego. Nasza $f(x)$ jest nieciągła w każdej wielokrotności $\pi$. Gdy bowiem $x_n\rightarrow k\pi^+$, to $f(x_n)\rightarrow \pm 1$, podczas gdy $f(k\pi)=0$. To wystarcza, by niespełniona była definicja Heinego (która mówi, że dla KAŻDEGO ciągu $x_n$ zbieżnego do $x_0$ zachodzi $f(x_n)$ zbieżne do $f(x_0)$). W punktach $x_0\neq k\pi$ funkcja jest lokalnie stała ($x_0$ ma otoczenie, w którym jest stała), czyli każdy ciąg $f(x_n)$ w otoczeniu $x_0$ jest stały i ma granicę równą wyrazowi ciągu, zatem $f(x_n)=f(x_0)$ Wiadomość była modyfikowana 2012-09-26 21:58:23 przez tumor |
tumor postów: 8070 | 2012-09-26 21:26:29 b) $g(x)=x$ jest ciągła jako funkcja liniowa $h(x)=[x]$ jest nieciągła w $x\in Z$. Niech $x_0\in Z$ $\lim_{x \to x_0^-}[x]=x-1$ $\lim_{x \to x_0^+}[x]=x$ Skoro granice jednostronne są różne, to wcale nie istnieje granica, czyli nie ma mowy o spełnieniu definicji Heinego. Jeśli dwa ciągi mają granice rzeczywiste, to granica ich różnicy istnieje i jest różnicą granic tych ciągów. Dlatego $f(x)=g(x)-h(x)$ musi mieć różne granice jednostronne w $x_0\in Z$, więc nie jest w tych punktach ciągła. $h(x)$ poza liczbami całkowitymi jest stała, zatem ciągła, a różnica funkcji ciągłych jest ciągła, czyli poza liczbami całkowitymi $f(x)$ jest ciągła. |
tumor postów: 8070 | 2012-09-26 21:26:51 c)$g(x)=ax+b$, gdzie $a,b$ są rzeczywiste Sprawdzimy, że funkcja liniowa jest ciągła (użyliśmy już wyżej faktu, że liniowe - w tym stałe - są ciągłe, ale ładnie będzie to udowodnić i zarazem zrobić ten przykład). Skorzystamy z definicji Cauchy'ego ciągłości funkcji w punkcie $x_0$. Mówi ona, że dla dowolnego dodatniego $\epsilon$ istnieje dodatnia $\delta$, że jeśli $|x-x_0|<\delta$ to $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$. Ustalmy zatem dowolne $\epsilon>0$ Szukamy $\delta$, aby z warunku $|x-x_0|<\delta$ wynikało, że $|ax+b -ax_0-b|=|a|*|x-x_0|<\epsilon$. Jeśli $a=0$, to oczywiście $|0|<\epsilon$, co wynika wprost z założenia, wówczas dobór $\delta$ jest dowolny. Jeśli $a\neq 0$, to niech $\delta=\frac{\epsilon}{|a|}$ Wówczas skoro $|x-x_0|<\delta=\frac{\epsilon}{|a|} $ to $ |a|*|x-x_0|<\epsilon$. Dla każdej funkcji liniowej i każdego $\epsilon$ znajdujemy odpowiednią $\delta$, zatem wszystkie funkcje liniowe (w tym stałe) są ciągłe. |
tumor postów: 8070 | 2012-09-26 21:33:40 d)$f(x)=[x] \sin \pi x$ Iloczyn funkcji ciągłych jest ciągły, a poza liczbami całkowitymi $[x]$ jest funkcją ciągłą. Pozostaje sprawdzić ciągłość w liczbach całkowitych. Niech $x_0\in Z$. $g(x)=[x]$ - w przedziale $[a,b]$, dla $a,b$ rzeczywistych, $a<b$, jest to funkcja ograniczona. $h(x)= \sin \pi x$ - ta funkcja ma w liczbach całkowitych granice równe $0$ (i, jako ciągła, ma tam oczywiście wartości równe $0$). $\lim_{x_n \to x_0}f(x_n)=\lim_{x_n \to x_0}g(x_n)h(x_n)=0=g(x_0)h(x_0)=f(x_0)$ (Iloczyn ciągu zbieżnego do $0$ i ograniczonego jest zbieżny do $0$. Natomiast $g(x_n)$ traktujemy jak ciąg ograniczony, gdyż w otoczeniu punktu $x_0$ zawierającym się w pewnym przedziale $[a,b]$ dla $a,b$ rzeczywistych, funkcja $g(x)$ jest rzeczywiście ograniczona). Ciąg $x_n$ był wybrany dowolnie, zatem z definicji Heinego funkcja $f(x)$ jest ciągła. |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj