logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 277

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

seszene
postów: 9
2011-12-14 17:40:57

Proszę o pomoc w sprawdzeniu ciągłości tych funkcji, proszę o wyjaśnienie jak to sprawdzić na dowolnym przykładzie, z góry dziękuję
$a)f(x)=sgn(sinx)$
b)$f(x)=x-[x]$
c)f(x)=x[x]
d)$f(x)=[x]sin\pix$
e)f(x)=$x^{2}-[x^{2}]$
f)f(x)=$[\frac{1}{x^{2}}]sgn(sin\frac{\pi}{x})$
g)f(x)=$arctg(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2})$
h)f(x)=$\frac{x^{2}}{(x+1)(x-3})$


tumor
postów: 8070
2012-09-26 21:24:49

Ciągłość funkcji w punkcie dowodzi się łatwiej z definicji Cauchy'ego, a nieciągłość z definicji Heinego. Obie definicje łatwo znaleźć gdziekolwiek. ;)

a) $f(x)=sgn(\sin x)$

gdzie

$sgn x =\left\{\begin{matrix} 1 &&\mbox{dla }x>0 \\ 0 &&\mbox{dla } x=0 \\-1 &&\mbox{dla } x<0 \end{matrix}\right.$

Sinus sobie faluje raz pod osią, raz nad osią, otrzymamy
$sgn(\sin x)=\left\{\begin{matrix} 1 &&\mbox{dla }x\in (2k\pi, 2k\pi+\pi) \\ 0 &&\mbox{dla } x=k\pi \\-1 &&\mbox{dla } x\in (2k\pi+\pi, 2k\pi) \end{matrix}\right.$
dla $k$ całkowitego.

Nasza $f(x)$ jest nieciągła w każdej wielokrotności $\pi$. Gdy bowiem $x_n\rightarrow k\pi^+$, to $f(x_n)\rightarrow \pm 1$, podczas gdy $f(k\pi)=0$. To wystarcza, by niespełniona była definicja Heinego (która mówi, że dla KAŻDEGO ciągu $x_n$ zbieżnego do $x_0$ zachodzi $f(x_n)$ zbieżne do $f(x_0)$).

W punktach $x_0\neq k\pi$ funkcja jest lokalnie stała ($x_0$ ma otoczenie, w którym jest stała), czyli każdy ciąg $f(x_n)$ w otoczeniu $x_0$ jest stały i ma granicę równą wyrazowi ciągu, zatem $f(x_n)=f(x_0)$



Wiadomość była modyfikowana 2012-09-26 21:58:23 przez tumor

tumor
postów: 8070
2012-09-26 21:26:29

b) $g(x)=x$ jest ciągła jako funkcja liniowa
$h(x)=[x]$ jest nieciągła w $x\in Z$.
Niech $x_0\in Z$
$\lim_{x \to x_0^-}[x]=x-1$
$\lim_{x \to x_0^+}[x]=x$
Skoro granice jednostronne są różne, to wcale nie istnieje granica, czyli nie ma mowy o spełnieniu definicji Heinego.

Jeśli dwa ciągi mają granice rzeczywiste, to granica ich różnicy istnieje i jest różnicą granic tych ciągów. Dlatego
$f(x)=g(x)-h(x)$ musi mieć różne granice jednostronne w $x_0\in Z$, więc nie jest w tych punktach ciągła.

$h(x)$ poza liczbami całkowitymi jest stała, zatem ciągła, a różnica funkcji ciągłych jest ciągła, czyli poza liczbami całkowitymi $f(x)$ jest ciągła.





tumor
postów: 8070
2012-09-26 21:26:51


c)$g(x)=ax+b$, gdzie $a,b$ są rzeczywiste
Sprawdzimy, że funkcja liniowa jest ciągła (użyliśmy już wyżej faktu, że liniowe - w tym stałe - są ciągłe, ale ładnie będzie to udowodnić i zarazem zrobić ten przykład).

Skorzystamy z definicji Cauchy'ego ciągłości funkcji w punkcie $x_0$. Mówi ona, że dla dowolnego dodatniego $\epsilon$ istnieje dodatnia $\delta$, że jeśli $|x-x_0|<\delta$ to $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$.

Ustalmy zatem dowolne $\epsilon>0$
Szukamy $\delta$, aby z warunku $|x-x_0|<\delta$ wynikało, że $|ax+b -ax_0-b|=|a|*|x-x_0|<\epsilon$.

Jeśli $a=0$, to oczywiście $|0|<\epsilon$, co wynika wprost z założenia, wówczas dobór $\delta$ jest dowolny.
Jeśli $a\neq 0$, to niech $\delta=\frac{\epsilon}{|a|}$

Wówczas skoro $|x-x_0|<\delta=\frac{\epsilon}{|a|}
$ to $ |a|*|x-x_0|<\epsilon$.

Dla każdej funkcji liniowej i każdego $\epsilon$ znajdujemy odpowiednią $\delta$, zatem wszystkie funkcje liniowe (w tym stałe) są ciągłe.




tumor
postów: 8070
2012-09-26 21:33:40




d)$f(x)=[x] \sin \pi x$

Iloczyn funkcji ciągłych jest ciągły, a poza liczbami całkowitymi $[x]$ jest funkcją ciągłą. Pozostaje sprawdzić ciągłość w liczbach całkowitych.

Niech $x_0\in Z$.
$g(x)=[x]$ - w przedziale $[a,b]$, dla $a,b$ rzeczywistych, $a<b$, jest to funkcja ograniczona.
$h(x)= \sin \pi x$ - ta funkcja ma w liczbach całkowitych granice równe $0$ (i, jako ciągła, ma tam oczywiście wartości równe $0$).

$\lim_{x_n \to x_0}f(x_n)=\lim_{x_n \to x_0}g(x_n)h(x_n)=0=g(x_0)h(x_0)=f(x_0)$
(Iloczyn ciągu zbieżnego do $0$ i ograniczonego jest zbieżny do $0$. Natomiast $g(x_n)$ traktujemy jak ciąg ograniczony, gdyż w otoczeniu punktu $x_0$ zawierającym się w pewnym przedziale $[a,b]$ dla $a,b$ rzeczywistych, funkcja $g(x)$ jest rzeczywiście ograniczona).

Ciąg $x_n$ był wybrany dowolnie, zatem z definicji Heinego funkcja $f(x)$ jest ciągła.


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 42 drukuj