Analiza matematyczna, zadanie nr 277
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
seszene post贸w: 9 |  2011-12-14 17:40:57Prosz臋 o pomoc w sprawdzeniu ci膮g艂o艣ci tych funkcji, prosz臋 o wyja艣nienie jak to sprawdzi膰 na dowolnym przyk艂adzie, z g贸ry dzi臋kuj臋 $a)f(x)=sgn(sinx)$ b)$f(x)=x-[x]$ c)f(x)=x[x] d)$f(x)=[x]sin\pix$ e)f(x)=$x^{2}-[x^{2}]$ f)f(x)=$[\frac{1}{x^{2}}]sgn(sin\frac{\pi}{x})$ g)f(x)=$arctg(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2})$ h)f(x)=$\frac{x^{2}}{(x+1)(x-3})$ |
tumor post贸w: 8070 | 2012-09-26 21:24:49 Ci膮g艂o艣膰 funkcji w punkcie dowodzi si臋 艂atwiej z definicji Cauchy\'ego, a nieci膮g艂o艣膰 z definicji Heinego. Obie definicje 艂atwo znale藕膰 gdziekolwiek. ;) a) $f(x)=sgn(\sin x)$ gdzie $sgn x =\left\{\begin{matrix} 1 &&\mbox{dla }x>0 \\ 0 &&\mbox{dla } x=0 \\-1 &&\mbox{dla } x<0 \end{matrix}\right.$ Sinus sobie faluje raz pod osi膮, raz nad osi膮, otrzymamy $sgn(\sin x)=\left\{\begin{matrix} 1 &&\mbox{dla }x\in (2k\pi, 2k\pi+\pi) \\ 0 &&\mbox{dla } x=k\pi \\-1 &&\mbox{dla } x\in (2k\pi+\pi, 2k\pi) \end{matrix}\right.$ dla $k$ ca艂kowitego. Nasza $f(x)$ jest nieci膮g艂a w ka偶dej wielokrotno艣ci $\pi$. Gdy bowiem $x_n\rightarrow k\pi^+$, to $f(x_n)\rightarrow \pm 1$, podczas gdy $f(k\pi)=0$. To wystarcza, by niespe艂niona by艂a definicja Heinego (kt贸ra m贸wi, 偶e dla KA呕DEGO ci膮gu $x_n$ zbie偶nego do $x_0$ zachodzi $f(x_n)$ zbie偶ne do $f(x_0)$). W punktach $x_0\neq k\pi$ funkcja jest lokalnie sta艂a ($x_0$ ma otoczenie, w kt贸rym jest sta艂a), czyli ka偶dy ci膮g $f(x_n)$ w otoczeniu $x_0$ jest sta艂y i ma granic臋 r贸wn膮 wyrazowi ci膮gu, zatem $f(x_n)=f(x_0)$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2012-09-26 21:58:23 przez tumor |
tumor post贸w: 8070 | 2012-09-26 21:26:29 b) $g(x)=x$ jest ci膮g艂a jako funkcja liniowa $h(x)=[x]$ jest nieci膮g艂a w $x\in Z$. Niech $x_0\in Z$ $\lim_{x \to x_0^-}[x]=x-1$ $\lim_{x \to x_0^+}[x]=x$ Skoro granice jednostronne s膮 r贸偶ne, to wcale nie istnieje granica, czyli nie ma mowy o spe艂nieniu definicji Heinego. Je艣li dwa ci膮gi maj膮 granice rzeczywiste, to granica ich r贸偶nicy istnieje i jest r贸偶nic膮 granic tych ci膮g贸w. Dlatego $f(x)=g(x)-h(x)$ musi mie膰 r贸偶ne granice jednostronne w $x_0\in Z$, wi臋c nie jest w tych punktach ci膮g艂a. $h(x)$ poza liczbami ca艂kowitymi jest sta艂a, zatem ci膮g艂a, a r贸偶nica funkcji ci膮g艂ych jest ci膮g艂a, czyli poza liczbami ca艂kowitymi $f(x)$ jest ci膮g艂a. |
tumor post贸w: 8070 | 2012-09-26 21:26:51 c)$g(x)=ax+b$, gdzie $a,b$ s膮 rzeczywiste Sprawdzimy, 偶e funkcja liniowa jest ci膮g艂a (u偶yli艣my ju偶 wy偶ej faktu, 偶e liniowe - w tym sta艂e - s膮 ci膮g艂e, ale 艂adnie b臋dzie to udowodni膰 i zarazem zrobi膰 ten przyk艂ad). Skorzystamy z definicji Cauchy\'ego ci膮g艂o艣ci funkcji w punkcie $x_0$. M贸wi ona, 偶e dla dowolnego dodatniego $\epsilon$ istnieje dodatnia $\delta$, 偶e je艣li $|x-x_0|<\delta$ to $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$. Ustalmy zatem dowolne $\epsilon>0$ Szukamy $\delta$, aby z warunku $|x-x_0|<\delta$ wynika艂o, 偶e $|ax+b -ax_0-b|=|a|*|x-x_0|<\epsilon$. Je艣li $a=0$, to oczywi艣cie $|0|<\epsilon$, co wynika wprost z za艂o偶enia, w贸wczas dob贸r $\delta$ jest dowolny. Je艣li $a\neq 0$, to niech $\delta=\frac{\epsilon}{|a|}$ W贸wczas skoro $|x-x_0|<\delta=\frac{\epsilon}{|a|} $ to $ |a|*|x-x_0|<\epsilon$. Dla ka偶dej funkcji liniowej i ka偶dego $\epsilon$ znajdujemy odpowiedni膮 $\delta$, zatem wszystkie funkcje liniowe (w tym sta艂e) s膮 ci膮g艂e. |
tumor post贸w: 8070 | 2012-09-26 21:33:40 d)$f(x)=[x] \sin \pi x$ Iloczyn funkcji ci膮g艂ych jest ci膮g艂y, a poza liczbami ca艂kowitymi $[x]$ jest funkcj膮 ci膮g艂膮. Pozostaje sprawdzi膰 ci膮g艂o艣膰 w liczbach ca艂kowitych. Niech $x_0\in Z$. $g(x)=[x]$ - w przedziale $[a,b]$, dla $a,b$ rzeczywistych, $a<b$, jest to funkcja ograniczona. $h(x)= \sin \pi x$ - ta funkcja ma w liczbach ca艂kowitych granice r贸wne $0$ (i, jako ci膮g艂a, ma tam oczywi艣cie warto艣ci r贸wne $0$). $\lim_{x_n \to x_0}f(x_n)=\lim_{x_n \to x_0}g(x_n)h(x_n)=0=g(x_0)h(x_0)=f(x_0)$ (Iloczyn ci膮gu zbie偶nego do $0$ i ograniczonego jest zbie偶ny do $0$. Natomiast $g(x_n)$ traktujemy jak ci膮g ograniczony, gdy偶 w otoczeniu punktu $x_0$ zawieraj膮cym si臋 w pewnym przedziale $[a,b]$ dla $a,b$ rzeczywistych, funkcja $g(x)$ jest rzeczywi艣cie ograniczona). Ci膮g $x_n$ by艂 wybrany dowolnie, zatem z definicji Heinego funkcja $f(x)$ jest ci膮g艂a. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj