logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Matematyka dyskretna, zadanie nr 2782

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 865
2014-11-09 00:55:41

Oblicz ile jest liczb czterocyowych ktore maja dokladnie dwie cyfry jednakowe.


tumor
postów: 8070
2014-11-09 07:19:52

Rozpatrz sobie oddzielnie liczby bez zera i oddzielnie liczby z zerem, dla łatwości.

Liczby mają się składać z 3 cyfr, czyli mamy wybrać trzy cyfry, które tworzą liczbę, następnie z tych trzech jedną, która się powtórzy, następnie dla tych 4 obiektów (jednego powtórzonego) znaleźć ilość ustawień odróżnialnych (tu właśnie będzie różnica dla liczb z zerem, bo zero na pierwszy miejscu być nie może).

Napisz, co tam wyszło. ;)


geometria
postów: 865
2014-11-09 12:46:55

Liczby z zerem
${10 \choose 3}$*${3 \choose 1}$*$\frac{4!}{2!}$

Dobry poczatek?


tumor
postów: 8070
2014-11-09 12:47:51

Niezupełnie, bo każda z cyfr może tu być pierwsza (stosujesz permutacje z powtórzeniami).

Wiadomość była modyfikowana 2014-11-09 12:48:38 przez tumor

geometria
postów: 865
2014-11-09 14:27:29

A moge ustalic tak, ze
pierwsza cyfra to 1 potem
pierwsza cyfra to 2
...
pierwsza cyfra to 9
i potem dodac ?


tumor
postów: 8070
2014-11-09 16:45:34

No niby tak. To jest jakiś sposób, możesz nawet wypisać wszystkie liczby i je policzyć. :) Chodzi jednak o to, by maksymalnie życie uprościć, czyli rozbijać na mniejsze przypadki, póki daje to zysk w czasie obliczeń.

To, co napisałeś, to ilość liczb tworzonych z 3 spośród 10 cyfr, o długości 4 czyli z jedną powtarzającą się cyfrą. Kolejno: kombinacja, kombinacja, permutacja z powtórzeniami.
Uwzględniasz tu jednak liczby, które mają jedno 0 i się od niego zaczynają (czyli pozostają dwie cyfry, z tego jedna powtórzona) i liczby, które mają dwa 0 i się od jednego z nich zaczynają (czyli pozostają 2 inne cyfry i jeszcze jedno 0 na innych miejscach.

Ja bym od wyniku, który już podałeś, odjął te liczby, które się zaczynają od 0 (oddzielnie te, które więcej zer nie mają i oddzielnie te, które mają jeszcze jedno zero), w miarę prosto można to policzyć.




geometria
postów: 865
2014-11-09 21:54:51

Te, ktore maja jedno zero 3*8*9
Te, ktore maja dwa zera jest rowniez 3*8*9.
Czyli ostatecznie:
${10 \choose 3}$*${3 \choose 1}*\frac{4!}{2!}$-2*3*8*9=4320-432=3888

Dobrze?


tumor
postów: 8070
2014-11-10 09:43:17

Dla dwóch zer:
jeśli jedno zero jest na miejscu pierwszym, to zostają trzy cyfry, z których jedną też jest 0.
Czyli $1*{9 \choose 2}$ mnożone przez 3! permutacji tych trzech cyfr, czyli ok.


----

a jak już masz wynik, to przetestujemy inną metodę.

Niech x,y,z będą cyframi. Możemy zatem ułożyć liczby

xxyz
xxzy
xyxz
xzxy
xyzx
xzyx
yxxz
zxxy
yxzx
zxyx
yzxx
zyxx

Czyli 12 możliwości, o ile wszystkie trzy cyfry są niezerowe. Wówczas cyfrę powtarzającą się dwukrotnie wybieramy na 9 sposobów, a dwie pozostałe na ${8 \choose 2}$ sposobów.

Jeśli 0 jest cyfrą powtarzającą się x, to zostaje 6 układów bez zera na początku, cyfry y,z wybieramy na ${9 \choose 2}$ sposobów.

Jeśli 0 jest cyfrą y (z nie rozpatrujemy oddzielnie, bo dałoby to te same liczby), to mamy 9 układów, cyfrę x wybieramy na 9 sposobów, a cyfrę z na 8 sposobów.



Wiadomość była modyfikowana 2014-11-10 10:12:08 przez tumor

geometria
postów: 865
2014-11-10 22:13:36

Dziekuje.


geometria
postów: 865
2014-11-15 23:55:43

A moze byc tak: xxyy?

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj