Topologia, zadanie nr 2798
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
lost90 post贸w: 1 |  2014-11-11 23:25:45Mam do przygotowanie takie 5 zada艅. Niestety topologia nie jest moj膮 mocn膮 stron膮. Za ka偶d膮 cho膰by sugesti臋 b臋d臋 bardzo wdzi臋czny! 1. Pokaza膰, 偶e je艣li $(T_{1}, t_{1}),(T_{2}, t_{2})$ s膮 o艣rodkowymi przestrzeniami topologicznymi, to $(T_{1} \times T_{2},t_{1} \times t_{2})$ jest przestrzeni膮 o艣rodkow膮. 2. Przestrze艅 $R^{2}$ wyposa偶amy w topologi臋 produktow膮 strza艂ka $ \times $ strza艂ka (bierzemy produkt dw贸ch strza艂ek). Czy ka偶dy podzbi贸r tej przestrzeni jest o艣rodkowy? 3. Pokaza膰, ze je艣li $(T_{n},t_{n})$ jest ci膮giem o艣rodkowych przestrzeni topologicznych, to produkt $(T_{1} \times T_{2} \times T_{3} \times ..., t_{1} \times t_{2} \times t_{3} \times ...)$ jest przestrzeni膮 o艣rodkow膮. 4. Czy w przestrzeni $R^{N}$ podzbi贸r $(0,1)_{N} $ jest zbiorem otwartym? Uzasadnij. 5. Poka偶, 偶e w ka偶dej przestrzeni metrycznej (T,d) istnieje metryka r贸wnowa偶na z d, ogranicznona przez 1. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2014-11-12 20:28:53 przez lost90 |
tumor post贸w: 8070 | 2014-11-11 23:45:56 0. Zmieni膰 studia. 1. Pokaza膰 istnienie o艣rodka. 2. Nie. Nale偶y wskaza膰 nieprzeliczaln膮 podprzestrze艅 dyskretn膮. Da si臋. No jak? Masz ju偶 jakie艣 kandydatury na o艣rodek w 1 lub na nieprzeliczaln膮 podprzestrze艅 dyskretn膮 w 2? Pr贸bujesz co艣? Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2014-11-12 20:49:28 przez tumor |
tumor post贸w: 8070 | 2014-11-23 07:44:41 1. Je艣li $A,B$ s膮 o艣rodkami odpowiednio w $T_1, T_2$, to $A\times B$ jest o艣rodkiem $T_1\times T_2$ Jest to oczywi艣cie zbi贸r przeliczalny. Je艣li $U$ jest otwarty w $T_1\times T_2$, to zawiera iloczyn kartezja艅ski $U_1\times U_2$ taki, 偶e $U_1\in t_1$, $U_2\in t_2$, czyli istnieje $a\in A$, 偶e $a\in U_1$, istnieje $b\in B$, 偶e $b\in U_2$, czyli $(a,b)\in U$. 2. Przek膮tna $D=\{(x,-x): x\in R\}$ jest zbiorem nieprzeliczalnym. Wobec tego, 偶e $[x,x+1)\times [-x,-x+1)$ jest zbiorem otwartym na p艂aszczy藕nie Sorgenfreya, zbiory $\{(x,-x)\}$ s膮 otwarte w $D$. Zatem $D$ jest podprzestrzeni膮 dyskretn膮 nieprzeliczaln膮, nie mo偶e by膰 o艣rodkowy. 0. Powa偶nie nie s膮dzisz, 偶e na studiach powinni by膰 ludzie, kt贸rych mocn膮 stron膮 s膮 studiowane przedmioty? Oby to Tobie przypadli lekarze, kt贸rych mocn膮 stron膮 nie by艂o leczenie. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-11-23 07:59:59 3. Nie mo偶emy wykona膰 manewru z 1., bo iloczyn kartezja艅ski niesko艅czenie wielu niesko艅czonych zbior贸w przeliczalnych jest nieprzeliczalny. Orientujemy si臋 zatem, o co chodzi w topologii produktowej. Baz膮 $\Pi(T_n)$ s膮 zbiory $\Pi(X_n)$, 偶e dla sko艅czenie wielu indeks贸w i mamy $X_i=U_i\neq T_i$ (gdzie $U_i$ otwarte w sensie odpowiedniej topologii), natomiast dla pozosta艂ych $X_i=T_i$ Niech $A_i$ niech b臋dzie o艣rodkiem w $T_i$, natomiast $x_i\in A_i, i\in N$ b臋dzie pewnym ustalonym ci膮giem. Rozwa偶my zbi贸r $B_n=\{(b_i)_{i\in N}:\mbox{ dla i<n mamy } b_i\in A_i\mbox{ a dla pozosta艂ych }b_i=a_i\}$ Rozumuj膮c jak w $1$. otrzymujemy, 偶e $B_n$ s膮 wszystkie przeliczalne. Korzystaj膮c z w艂asno艣ci topologii produktowej widzimy, 偶e dla ka偶dego zbioru bazowego $U$ znajdziemy $n$ takie, 偶e $U$ zawiera elementy $B_n$. Suma wszystkich $B_n$ jest przeliczaln膮 sum膮 zbior贸w przeliczalnych, czyli jest szukanym o艣rodkiem. --- Inny r贸wnie dobry o艣rodek polega na tym, 偶e na wszystkich poza jedn膮 wsp贸艂rz臋dn膮 element贸w s膮 $a_i$, natomiast na tej jednej wybranej s膮 dowolne elementy z $A_i$ --- 0. Studia powinny by膰 dla ludzi, kt贸rzy chc膮 studiowa膰, czyli samodzielnie poszukiwa膰 odpowiedzi. Bo widzisz, ja odpowiedzi na to zadanie nie znalaz艂em nigdzie gotowej, zadanie widz臋 pierwszy raz w 偶yciu, ale mam ochot臋 je postudiowa膰, czyli zmierzy膰 si臋 z nim, pomy艣le膰. Dla tych, co chc膮 oszuka膰, s膮 dyplomy sprzedawane przez fa艂szerzy. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-11-23 08:19:19 5. Je艣li $d$ jest metryk膮, to funkcja $g(x,y)=\frac{d(x,y)}{d(x,y)+1}$ tak偶e jest metryk膮, co pokazane jest w podpunkcie 3) tutaj: http://www.forum.math.edu.pl/temat,studia,1598,0 Nie budzi w膮tpliwo艣ci, 偶e metryka ta jest ograniczona przez 1. Pozostaje pokaza膰 r贸wnowa偶no艣膰. Wobec faktu, 偶e zawsze $d(x,y)\le \frac{d(x,y)}{d(x,y)+1}$, mamy, 偶e $d$ jest nie s艂absza ni偶 $g$ (lub inaczej, 偶e kula $K_d(x,r) $zawiera si臋 w kuli $K_g(x,r)$). W drug膮 stron臋, je艣li $r_g=\frac{r_d}{2+r_d}$ to kula $K_g(x,r_g)$ zawiera si臋 w kuli $K_d(x,r_d)$, bo je艣li $g(x,y)<r_g$, czyli $\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}<\frac{r_d}{2+r_d}$, to $2d(x,y)+r_dd(x,y)<r_d+r_dd(x,y)$ czyli $2d(x,y)<r_d$, czyli $d(x,y)<r_d$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj