logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Topologia, zadanie nr 2798

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

lost90
postów: 1
2014-11-11 23:25:45

Mam do przygotowanie takie 5 zadań. Niestety topologia nie jest moją mocną stroną. Za każdą choćby sugestię będę bardzo wdzięczny!


1. Pokazać, że jeśli $(T_{1}, t_{1}),(T_{2}, t_{2})$ są ośrodkowymi przestrzeniami topologicznymi, to $(T_{1} \times T_{2},t_{1} \times t_{2})$ jest przestrzenią ośrodkową.

2. Przestrzeń $R^{2}$ wyposażamy w topologię produktową strzałka $ \times $ strzałka (bierzemy produkt dwóch strzałek). Czy każdy podzbiór tej przestrzeni jest ośrodkowy?

3. Pokazać, ze jeśli $(T_{n},t_{n})$ jest ciągiem ośrodkowych przestrzeni topologicznych, to produkt $(T_{1} \times T_{2} \times T_{3} \times ..., t_{1} \times t_{2} \times t_{3} \times ...)$ jest przestrzenią ośrodkową.

4. Czy w przestrzeni $R^{N}$ podzbiór $(0,1)_{N} $ jest zbiorem otwartym? Uzasadnij.

5. Pokaż, że w każdej przestrzeni metrycznej (T,d) istnieje metryka równoważna z d, ogranicznona przez 1.

Wiadomość była modyfikowana 2014-11-12 20:28:53 przez lost90

tumor
postów: 8070
2014-11-11 23:45:56

0. Zmienić studia.

1. Pokazać istnienie ośrodka.

2. Nie. Należy wskazać nieprzeliczalną podprzestrzeń dyskretną. Da się.

No jak? Masz już jakieś kandydatury na ośrodek w 1 lub na nieprzeliczalną podprzestrzeń dyskretną w 2? Próbujesz coś?


Wiadomość była modyfikowana 2014-11-12 20:49:28 przez tumor

tumor
postów: 8070
2014-11-23 07:44:41

1. Jeśli $A,B$ są ośrodkami odpowiednio w $T_1, T_2$, to $A\times B$ jest ośrodkiem $T_1\times T_2$
Jest to oczywiście zbiór przeliczalny. Jeśli $U$ jest otwarty w $T_1\times T_2$, to zawiera iloczyn kartezjański $U_1\times U_2$ taki, że $U_1\in t_1$, $U_2\in t_2$, czyli istnieje $a\in A$, że $a\in U_1$, istnieje $b\in B$, że $b\in U_2$, czyli $(a,b)\in U$.

2. Przekątna $D=\{(x,-x): x\in R\}$ jest zbiorem nieprzeliczalnym.

Wobec tego, że $[x,x+1)\times [-x,-x+1)$ jest zbiorem otwartym na płaszczyźnie Sorgenfreya, zbiory $\{(x,-x)\}$ są otwarte w $D$.
Zatem $D$ jest podprzestrzenią dyskretną nieprzeliczalną, nie może być ośrodkowy.

0. Poważnie nie sądzisz, że na studiach powinni być ludzie, których mocną stroną są studiowane przedmioty? Oby to Tobie przypadli lekarze, których mocną stroną nie było leczenie.


tumor
postów: 8070
2014-11-23 07:59:59

3. Nie możemy wykonać manewru z 1., bo iloczyn kartezjański nieskończenie wielu nieskończonych zbiorów przeliczalnych jest nieprzeliczalny.

Orientujemy się zatem, o co chodzi w topologii produktowej. Bazą $\Pi(T_n)$ są zbiory $\Pi(X_n)$, że dla skończenie wielu indeksów i mamy $X_i=U_i\neq T_i$ (gdzie $U_i$ otwarte w sensie odpowiedniej topologii), natomiast dla pozostałych $X_i=T_i$

Niech $A_i$ niech będzie ośrodkiem w $T_i$, natomiast $x_i\in A_i, i\in N$ będzie pewnym ustalonym ciągiem.
Rozważmy zbiór $B_n=\{(b_i)_{i\in N}:\mbox{ dla i<n mamy } b_i\in A_i\mbox{ a dla pozostałych }b_i=a_i\}$

Rozumując jak w $1$. otrzymujemy, że $B_n$ są wszystkie przeliczalne.
Korzystając z własności topologii produktowej widzimy, że dla każdego zbioru bazowego $U$ znajdziemy $n$ takie, że $U$ zawiera elementy $B_n$.
Suma wszystkich $B_n$ jest przeliczalną sumą zbiorów przeliczalnych, czyli jest szukanym ośrodkiem.


---

Inny równie dobry ośrodek polega na tym, że na wszystkich poza jedną współrzędną elementów są $a_i$, natomiast na tej jednej wybranej są dowolne elementy z $A_i$

---

0. Studia powinny być dla ludzi, którzy chcą studiować, czyli samodzielnie poszukiwać odpowiedzi. Bo widzisz, ja odpowiedzi na to zadanie nie znalazłem nigdzie gotowej, zadanie widzę pierwszy raz w życiu, ale mam ochotę je postudiować, czyli zmierzyć się z nim, pomyśleć.
Dla tych, co chcą oszukać, są dyplomy sprzedawane przez fałszerzy.


tumor
postów: 8070
2014-11-23 08:19:19

5. Jeśli $d$ jest metryką, to funkcja
$g(x,y)=\frac{d(x,y)}{d(x,y)+1}$ także jest metryką, co pokazane jest w podpunkcie 3) tutaj:

http://www.forum.math.edu.pl/temat,studia,1598,0
Nie budzi wątpliwości, że metryka ta jest ograniczona przez 1. Pozostaje pokazać równoważność.

Wobec faktu, że zawsze $d(x,y)\le \frac{d(x,y)}{d(x,y)+1}$, mamy, że $d$ jest nie słabsza niż $g$ (lub inaczej, że kula $K_d(x,r) $zawiera się w kuli $K_g(x,r)$).
W drugą stronę, jeśli $r_g=\frac{r_d}{2+r_d}$
to kula $K_g(x,r_g)$ zawiera się w kuli $K_d(x,r_d)$,
bo jeśli $g(x,y)<r_g$, czyli
$\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}<\frac{r_d}{2+r_d}$, to
$2d(x,y)+r_dd(x,y)<r_d+r_dd(x,y)$
czyli
$2d(x,y)<r_d$, czyli $d(x,y)<r_d$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj