logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 2803

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

leg14
postów: 4
2014-11-13 21:11:36

Dany jest ciag liczb rzeczywistych $ a_{n}$ taki,ze $a_{n+1} - a_{n}\rightarrow0$ .Udowodnic, ze jezeli ciag $ a_{n}$ ma podciagi zbiezne do 1 i -1, to ma tez podciag zbiezny do 0.Bardzo prosze o pomoc


tumor
postów: 8070
2014-11-23 08:47:02

Może nie wprost.
Jeśli podciąg zbieżny do $0$ nie istnieje, to znaczy, że istnieje $m$ naturalne takie, że tylko skończona ilość wyrazów ciągu $a_n$ należy do przedziału
$A=(-\frac{1}{m},\frac{1}{m})$.
Niech $n_0$ będzie indeksem ostatniego wyrazu należącego do tego przedziału (a jeśli nie należy żaden, to weźmy $n_0=1$).

niech $n_1$ będzie taką liczbą naturalną, że dla $n>n_1$ mamy $a_{n_1+1}-a_{n_1}<\frac{1}{m}$.

Niech wreszcie $n_2=max(n_0+1,n_1+1).$
Zatem dla $n>n_2$ różnica między dwoma sąsiednimi wyrazami jest mniejsza niż $\frac{1}{m}$ oraz wyrazy $a_n$ nie należą do przedziału $A$. Wobec tego albo są wszystkie mniejsze od 0 albo wszystkie większe od 0, co wyklucza możliwość, by ciąg miał podciągi zbieżne do -1 i do 1.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj