Analiza matematyczna, zadanie nr 2803
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
leg14 postów: 4 | 2014-11-13 21:11:36 Dany jest ciag liczb rzeczywistych $ a_{n}$ taki,ze $a_{n+1} - a_{n}\rightarrow0$ .Udowodnic, ze jezeli ciag $ a_{n}$ ma podciagi zbiezne do 1 i -1, to ma tez podciag zbiezny do 0.Bardzo prosze o pomoc |
tumor postów: 8070 | 2014-11-23 08:47:02 Może nie wprost. Jeśli podciąg zbieżny do $0$ nie istnieje, to znaczy, że istnieje $m$ naturalne takie, że tylko skończona ilość wyrazów ciągu $a_n$ należy do przedziału $A=(-\frac{1}{m},\frac{1}{m})$. Niech $n_0$ będzie indeksem ostatniego wyrazu należącego do tego przedziału (a jeśli nie należy żaden, to weźmy $n_0=1$). niech $n_1$ będzie taką liczbą naturalną, że dla $n>n_1$ mamy $a_{n_1+1}-a_{n_1}<\frac{1}{m}$. Niech wreszcie $n_2=max(n_0+1,n_1+1).$ Zatem dla $n>n_2$ różnica między dwoma sąsiednimi wyrazami jest mniejsza niż $\frac{1}{m}$ oraz wyrazy $a_n$ nie należą do przedziału $A$. Wobec tego albo są wszystkie mniejsze od 0 albo wszystkie większe od 0, co wyklucza możliwość, by ciąg miał podciągi zbieżne do -1 i do 1. |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj