logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 2836

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

sambor1616
postów: 1
2014-11-20 22:48:13

Czesc Wam! Chcialbym sie zapytac, poniewaz ostatnio zawalilem kolokwium czy bylby ktos tak mily i postaral sie rozwiazac ktores z zadan, badz podac jakies pomocne filmy, pliki z pdf, cookolwiek :) Prosze o pomoc :)

1. Wyznacz postac trygonometryczna liczby
Z= sin($\alpha$)- i cos($\alpha$) oraz obraz $Z^{2}$

2. Narysuj obszary $Z\in$ ciala liczb zespolonych, jesli

$\frac{2}{3}\pi < arg(Z^{4}) < \frac{4}{3}\pi$

3. Rozłóż na czynniki pierwsze wielomian
$w=x^{8} + x^{4} + 1$


4. Narysuj i opisz zbiór A*B*C $\in$ R jesli
A= {-1,0,1},B= $[-1,1]$, c=R(liczby rzeczywiste)


tumor
postów: 8070
2015-07-05 10:28:06

1.
zauważamy dość prostą rzecz, że
$sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=cos\alpha$

Zatem $Z=cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)-isin(\frac{\pi}{2}-\alpha)$

jeszcze przeszkadza nam minus. Sinus jest nieparzysty, cosinus parzysty, zatem
$Z=cos(\alpha-\frac{\pi}{2})+isin(\alpha-\frac{\pi}{2})$

2. Najpierw zaznacz liczby $W=Z^4$, które mają argument w podanym przedziale. To będzie taki wycinek płaszczyzny ograniczony dwiema półprostymi wychodzącymi z początku układu współrzędnych.
Teraz pierwiastkujemy. Jeśli dana liczba zespolona ma argument $x$, to jeden z jej pierwiastków stopnia n będzie mieć argument $\frac{x}{n}$, a pozostałe będą się różnić tylko kolejnymi obrotami o kąt $\frac{2\pi}{n}$ wokół środka układu.

Zatem dwóm półprostym, które tworzą wycinek, zmniejszamy czterokrotnie kąt nachylenia. Otrzymujemy jeden z 4 obszarów dla liczby Z. Pozostałe obszary są takie same, tylko obrócone o 90 stopni.


tumor
postów: 8070
2015-07-05 10:32:03

3.
$x^8+x^4+1$
podstawiamy $t=x^4$ i rozkładamy
$t^2+t+1$
co rozłożyć łatwo w zespolonych.
Następnie $(t-t_1)(t-t_2)$ czyli $(x^4-t_1)(x^4-t_2)$ rozkładamy dalej, tu nie ma żadnej trudności, rozwiązaniami są wszystkie czwartego stopnia pierwiastki z $t_1$ i $t_2$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj