Analiza matematyczna, zadanie nr 2868
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
323232 postów: 22 | 2014-12-02 19:29:15 1. Wyznaczyć przedziały zbieżności następujących szeregów potęgowych: a) $\sum_{n=1}^{\infty}$$\frac{x^{n}}{n10^{n-1}}$ b) $\sum_{n=1}^{\infty}$n!$x^{n}$ c) $\sum_{n=1}^{\infty}$$(-1)^{n+1}$$\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)(2n-1)!}$ 2. Określić obszary zbieżności następujących szeregów funkcyjnych: a) $\sum_{n=1}^{\infty}$$x^{n}$tg$\frac{x}{2^{n}}$ b) $\sum_{n=1}^{\infty}$$\frac{sinnx}{n^{2}}$ 3. Rozwinąć funkcję f(x)=lnx w szereg Taylora w otoczeniu punktu $x_{0}$=1. |
tumor postów: 8070 | 2014-12-08 20:16:10 1. a) zbieżny w $(-10,10)$, bo dostajemy $\frac{10}{n}*(\frac{x}{10})^n$ Ten fragment w postaci potęgi zapewnia zbieżność (kryterium porównawcze). Zbieżny warunkowo dla $x=-10$, rozbieżny dla $x=10$ (bo to $-\frac{1}{n}$ oraz $\frac{1}{n}$) |
tumor postów: 8070 | 2014-12-08 20:25:52 b) Szereg zbieżny tylko dla $x=0$. Dla innego x nie spełnia warunku koniecznego zbieżności (ciąg nie ma granicy w 0, jest rozbieżny). |
tumor postów: 8070 | 2014-12-08 20:32:50 c) niepotrzebnie udaje to komplikację. Zauważmy, że $\sum \frac{x^n}{n!}$ jest zbieżny, bowiem $0\le |x|\le M$ dla pewnego $M$ naturalnego oraz dla $n>M$ kolejne wyrazy ciągu zbiegają szybciej niż wyrazy ciągu geometrycznego $(\frac{M}{M+1})^n$ (szybciej w sensie modułu ilorazu sąsiednich wyrazów). Reszta przykładu jest niepotrzebnym bałaganem, szereg zbieżny na całym $R$ Wiadomość była modyfikowana 2014-12-08 20:34:40 przez tumor |
tumor postów: 8070 | 2014-12-08 20:35:47 2. b) no przykład dla dzieci. Bardzo oczywiste $R$. Dlaczego? Chyba się obrażę, jak nie napiszesz, dlaczego. |
tumor postów: 8070 | 2014-12-08 20:47:00 a) dla $x=0$ zbieżny, dla pozostałych $x$ można zapisać jako: $\sum x*\frac{x^n}{2^n}*\frac{tg\frac{x}{2^n}}{\frac{x}{2^n}}$ ułamek ostatni jest zbieżny do 1 (choć ma wartości na moduł od 1 większe), dla zbieżności szeregu znaczenie ma czynnik drugi. Mamy zatem zbieżność w $(-2,2)$. Dla $x=\pm 2$ nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności. |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj