logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 2868

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

323232
postów: 22
2014-12-02 19:29:15

1. Wyznaczyć przedziały zbieżności następujących szeregów potęgowych:
a) $\sum_{n=1}^{\infty}$$\frac{x^{n}}{n10^{n-1}}$
b) $\sum_{n=1}^{\infty}$n!$x^{n}$
c) $\sum_{n=1}^{\infty}$$(-1)^{n+1}$$\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)(2n-1)!}$
2. Określić obszary zbieżności następujących szeregów funkcyjnych:
a) $\sum_{n=1}^{\infty}$$x^{n}$tg$\frac{x}{2^{n}}$
b) $\sum_{n=1}^{\infty}$$\frac{sinnx}{n^{2}}$
3. Rozwinąć funkcję f(x)=lnx w szereg Taylora w otoczeniu punktu $x_{0}$=1.


tumor
postów: 8070
2014-12-08 20:16:10

1.
a) zbieżny w $(-10,10)$, bo dostajemy

$\frac{10}{n}*(\frac{x}{10})^n$
Ten fragment w postaci potęgi zapewnia zbieżność (kryterium porównawcze).

Zbieżny warunkowo dla $x=-10$, rozbieżny dla $x=10$ (bo to $-\frac{1}{n}$ oraz $\frac{1}{n}$)


tumor
postów: 8070
2014-12-08 20:25:52

b)
Szereg zbieżny tylko dla $x=0$. Dla innego x nie spełnia warunku koniecznego zbieżności (ciąg nie ma granicy w 0, jest rozbieżny).


tumor
postów: 8070
2014-12-08 20:32:50

c)
niepotrzebnie udaje to komplikację.

Zauważmy, że $\sum \frac{x^n}{n!}$ jest zbieżny, bowiem

$0\le |x|\le M$ dla pewnego $M$ naturalnego oraz dla $n>M$ kolejne wyrazy ciągu zbiegają szybciej niż wyrazy ciągu geometrycznego $(\frac{M}{M+1})^n$ (szybciej w sensie modułu ilorazu sąsiednich wyrazów).

Reszta przykładu jest niepotrzebnym bałaganem, szereg zbieżny na całym $R$

Wiadomość była modyfikowana 2014-12-08 20:34:40 przez tumor

tumor
postów: 8070
2014-12-08 20:35:47

2.

b) no przykład dla dzieci. Bardzo oczywiste $R$. Dlaczego? Chyba się obrażę, jak nie napiszesz, dlaczego.


tumor
postów: 8070
2014-12-08 20:47:00

a) dla $x=0$ zbieżny, dla pozostałych $x$ można zapisać jako:

$\sum x*\frac{x^n}{2^n}*\frac{tg\frac{x}{2^n}}{\frac{x}{2^n}}$

ułamek ostatni jest zbieżny do 1 (choć ma wartości na moduł od 1 większe), dla zbieżności szeregu znaczenie ma czynnik drugi.

Mamy zatem zbieżność w $(-2,2)$.
Dla $x=\pm 2$ nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności.



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj