logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 290

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

zana490
postów: 2
2011-12-28 12:13:39

Udowodnić że suma dwóch jednostajnie zbieznych ciągów funkcji ciągłych jest ciągiem jednostajnie zbieżnym. Udowodnić to samo dla iloczynu przy założeniu że a$\le$x$\le$b. pokazać że twierdzenie jest fałszywe dla przedziałów otwartych biorąc pod uwagę fn(x)=x(1-$\frac{1}{n}$), gn(x)=$)=\frac{1}{x^2}$


tumor
postów: 8070
2012-10-11 17:52:36

Niech $f_n, g_n$ będą ciągami funkcji ciągłych zbieżnymi jednostajnie do funkcji odpowiednio $f$ i $g$.

Ciągłość jednostajna oznacza, że dla każdego dodatniego \epsilon istnieje $n_0\in N$, że dla $n>n_0$ dla wszystkich $x$ mamy $|f(x)-f_n(x)|<\epsilon$ oraz $|g(x)-g_n(x)|<\epsilon$

Ustalmy $\epsilon>0$ i tak dobieżmy $n_0$, by dla $n>n_0$ dla wszystkich $x$ zachodziło $|f(x)-f_n(x)|<\frac{\epsilon}{2}$ oraz $|g(x)-g_n(x)|<\frac{\epsilon}{2}$

Wówczas dla $n>n_0$ prawdą jest, że
$|(f+g)(x)-(f_n+g_n)(x)|\le|f(x)-f_n(x)|+|g(x)-g_n(x)|<\epsilon$
zatem suma jest jednostajnie zbieżna do $f+g$.

----

W kontrprzykładzie $f_n(x)=x(1-\frac{1}{n})$ jest ciągiem jednostajnie zbieżnym do $f(x)=x$ na przedziale $[0,1]$, więc i na przedziale $(0,1]$ (zauważmy, że ciąg ten na całym $R$ wcale nie jest jednostajnie zbieżny!).
Ciąg $g(n)=\frac{1}{x^2}$ to ciąg funkcji stałych, jednostajnie zbieżny w dziedzinie, ale weźmy jednostajną zbieżność w $(0,1]$.

Popatrzmy, co się dzieje w przedziale $(0,1]$ z iloczynem $f_n(x)g_n(x)=\frac{1}{x}(1-\frac{1}{n})$, podczas gdy $(fg)(x)=\frac{1}{x}$

Ustalmy sobie dowolne $n$. Różnica $|f_n(x)g_n(x)-(fg)(x)|=|\frac{1}{x}|*|\frac{1}{n}|$ nie jest w przedziale $(0,1]$ ograniczona, to znaczy dla każdego $M>0$ i dla każdego $n>0$ znajdziemy $x\in(0,1]$, że $|\frac{1}{x}|*|\frac{1}{n}|>M$.
Zatem nie możemy mieć do czynienia ze zbieżnością jednostajną.


-----

Niech teraz $f_n, f, g_n, g$ będą określone na przedziale domkniętym $[a,b]$. $f_n$ zbieżne jednostajnie do $f$, $g_n$ zbieżne jednostajnie do $g$.

Korzystamy z faktu, że funkcja ciągła na przedziale zwartym osiąga swoje kresy, zatem wszystkie $f_n, g_n$ są na przedziale $[a,b]$ ograniczone, a zatem i granice są funkcjami ograniczonymi.
Jeśli $|f(x)|<M$ dla $x\in [a,b]$, to począwszy od pewnego $n_0$ mamy $|f_n(x)|<M+\epsilon$, analogicznie dla $g_n$ i $g$.

Niech zatem $|f_n(x)|<M$
$|g(x)|<P$
gdzie $P,M>1$ są rzeczywistymi ograniczeniami funkcji.
ustalmy $\epsilon>0$, wówczas na mocy jednostajnej zbieżności istnieje $n_0$ takie, że dla $n>n_0$ zachodzi
$|g_n(x)-g(x)|<\frac{\epsilon}{2M}$
$|f_n(x)-f(x)|<\frac{\epsilon}{2P}$

$|f_n(x)g_n(x)-f(x)g(x)|=|f_n(x)g_n(x)-f_n(x)g(x)+f_n(x)g(x)-f(x)g(x)|<|f_n(x)g_n(x)-f_n(x)g(x)|+|f_n(x)g(x)-f(x)g(x)|=
|f_n(x)|*|g_n(x)-g(x)|+|f_n(x)-f(x)|*|g(x)|<M\frac{\epsilon}{2M}+P\frac{\epsilon}{2P}=\epsilon$

co kończy dowód.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 48 drukuj