logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 2900

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

robaczek563
postów: 4
2014-12-15 11:41:33

Korzystajac z definicji, wyznacz pochodna funkcji we wskazanym punkcie:
a)F(x)=x+3 , x0=-2
b)F(x)=2/x+5 , x0=-1
c)F(x)=cos2x , x0=Pi/6
d){\begin{matrix} -2/3x+3 dla x\le3 \\ 9/x^2 dla x>3 \end{matrix} }, x0=3


tumor
postów: 8070
2014-12-15 19:29:45

a) $\lim_{h \to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=
\lim_{h \to 0}\frac{x+h+3-x-3}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{h}{h}=1$
(więc w szczególności dla $x=-2$ też $F`(x)=1$)



tumor
postów: 8070
2014-12-15 19:36:03

b)
$\lim_{h \to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=
\lim_{h \to 0}\frac{\frac{2}{x+h}+5-\frac{2}{x}-5}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{2x-2x-2h}{h(x+h)(x)}=\lim_{h \to 0}\frac{-2}{(x+h)(x)}=\frac{-2}{x^2}$
(oczywiście poza $x\neq 0$
No i można podstawić $x=-1$. To, co robię, to policzenie pochodnej z definicji w dowolnym punkcie (poza wywalonymi z powodu założeń), a jeśli potrzebujesz w punkcie konkretnym, możesz mieć od początku zamieniony $x$ na $-1$ albo zamienić na koniec, w rozumowaniu niewiele się zmienia)


tumor
postów: 8070
2014-12-15 19:43:28

c)
$\lim_{h \to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=
\lim_{h \to 0}\frac{cos(2x+2h)-cos2x}{h}=
\lim_{h \to 0}\frac{cos2xcos2h-sin2xsin2h-cos2x}{h}=
\lim_{h \to 0}(\frac{cos2x(cos2h-1)}{h}-\frac{2sin2xsin2h}{2h})=
\lim_{h \to 0}(\frac{cos2x(cos^2h-sin^2h-1)}{h}-\frac{2sin2xsin2h}{2h})=
\lim_{h \to 0}(\frac{hcos2x(-2sin^2h)}{h^2}-\frac{2sin2xsin2h}{2h})=
-2sin2x$

korzystamy z
$\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=1$
(parę razy)
oraz z
$cos(a+b)=cosacosb-sinasinb$ (też parę razy)


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj