logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 2925

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

michal6488
postów: 16
2014-12-21 13:44:30

Poproszę o pomoc w rozwiązaniu przykładu odnośnie zbieżności tego szeregu za pomocą kryterium d'Alemberta
$\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{3^{n}\cdot n!}{2n^{5}}$

Wiadomość była modyfikowana 2014-12-21 13:45:30 przez michal6488

tumor
postów: 8070
2014-12-21 13:56:10

Szereg rozbieżny, bo nie spełnia warunku koniecznego zbieżności. Na co kryterium d'Alemberta? :)

$\frac{\frac{3^{n+1}(n+1)!}{2(n+1)^5}}{\frac{3^nn!}{2n^2}}=\frac{3(n+1)n^5}{(n+1)^5}=\frac{3n^5}{(n+1)^4}>\frac{3n^5}{n^4+4n^4+6n^4+4n^4+n^4}=\frac{3n^5}{16n^4}=\frac{3n}{16}>1$ dla $n\ge 6$

(szacowałem grubo, zastępując wszystkie potęgi w rozwinięciu $(n+1)^4$ przez potęgę czwartą)


michal6488
postów: 16
2014-12-21 14:14:21

A to jeśli z warunku koniecznego to w jaki sposób?


tumor
postów: 8070
2014-12-21 14:30:28

Warunek konieczny zbieżności $\sum a_n$ to
$\lim_{n \to \infty}a_n=0$

Skoro w przykładzie w bardzo oczywisty sposób $\lim_{n \to \infty}a_n=\infty$, to szereg zbieżny nie jest.
Jeśli dodajesz nieskończenie wiele wyrazów, ale szybko zbliżających się do 0, to możesz dostać w wyniku skończoną sumę. Dodanie do siebie na przykład nieskończenie wielu jedynek to już 'suma nieskończona', prawda? Jeśli zatem nieskończenie wiele wyrazów ciągu jest większych niż 1, to już szereg zbieżny być nie może.

Ogólniej, jeśli nieskończenie wiele wyrazów ciągu jest większych od pewnej dodatniej stałej a (lub mniejszych od pewnej ujemnej stałej b) to już szereg zbieżny być nie może.

Lepiej by było rozwiązywać przykłady widząc, co jest napisane. Jeśli masz kupić ser, to szukasz sera, a nie czytasz wszystkich po kolei sklepowych etykiet bezmyślnie, aż natrafisz na napis "ser". Natomiast w matmie zamiast rozumieć, co się dzieje, chcesz stosować bezmyślnie jakieś metody, nie wiadomo co robiące. Niedobrze! Z głową rób. Spróbuj zrozumieć, co oznacza zbieżność szeregu i DLACZEGO kryteria działają, DLACZEGO warunek konieczny jest konieczny etc. To pomaga widzieć, co się robi.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj