logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Geometria, zadanie nr 294

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

szkopul
postów: 1
2011-12-31 14:39:55

Dana jest idealnie kulista Ziemia, stojący w jednym miejscu Indianin o wzroście 180 cm i samolot lecący na wysokości 10^4 m.
Obliczyć drogę jaka będzie w polu widzenia Indianina.


tumor
postów: 8070
2012-10-11 18:48:08

Czy ja dobrze rozumiem, że samolot leci nad wielkim kołem, które przebiega pod stopami Indianina?

Niech $R$ będzie promieniem Ziemi w metrach.
Nierealistycznie zakładam, że Indianin stoi na kamieniu, przez to oczy ma na $h=1,8 m$, a nie czubek głowy.
Samolot leci na $H=10000 m$.

Indianin patrząc na horyzont wyznacza styczną do okręgu (koła wielkiego). Środek Ziemi, oczy Indianina i punkt styczności tworzą trójkąt prostokątny, przy wierzchołku w środku Ziemi kąt wynosi $\alpha=arccos(\frac{R}{R+h})$.
Jeśli przedłużymy styczną za horyzont, aż przetnie trasę samolotu, stworzymy kolejny trójkąt prostokątny (wyznaczony przez środek Ziemi, punkt styczności i punkt, w którym będzie samolot, gdy się stanie widoczny dla Indianina). Kąt przy wierzchołku w środku Ziemi wynosi $\beta=arccos(\frac{R}{R+H})$.

Całe koło na wysokości $10000 m$ ma obwód $2\pi*(R+H)$.
Widziany fragment odpowiada kątowi $2\alpha+2\beta$, czyli ma długość
$2\pi*(R+H)\frac{\alpha+\beta}{\pi}=2(R+H)(arccos(\frac{R}{R+h})+arccos(\frac{R}{R+H}))$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 50 drukuj