Analiza matematyczna, zadanie nr 3037
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
kasiula03 post贸w: 5 |  2015-01-10 16:00:55Mia艂am takie zadanie na kolokwium, pr贸bowa艂am je rozwi膮za膰, ale nie potrafi艂am. $\lim_{ x\to 0 }(1+ sin^{2} x)^{x/2} $ Nie jestem pewna czy na pewno x d膮偶y艂o do zera czy do niesko艅czono艣ci, tak偶e prosi艂abym o pomoc w tych dw贸ch przypadkach. Pr贸bowa艂am zrobi膰 z tego granice na e, ale musia艂am si臋 gdzie艣 pogubi膰. |
tumor post贸w: 8070 | 2015-01-10 16:20:43 W obu przypadkach nie ma co liczy膰, prawdopodobnie 藕le pami臋tasz przyk艂ad. Gdyby $x\to \infty$, to granica oczywi艣cie nie istnieje, bo mo偶emy poda膰 r贸偶ne granice cz臋艣ciowe. Dla $x=k\pi$ granic膮 cz臋艣ciow膮 jest 1, dla $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ granic膮 cz臋艣ciow膮 jest $\infty$. Je艣li $x\to 0$, to $sin^2x\to 0$, czyli 艣rodek nawiasu zbli偶a si臋 do liczby 1. Wyk艂adnik $\frac{x}{2}\to 0$, a $1^0$ to wci膮偶 1, nie ma tu symbolu nieoznaczonego. |
kasiula03 post贸w: 5 | 2015-01-10 17:23:42 Faktycznie w zadaniu by艂o tak: $\lim_{ x\to 0 }(1+ sin^{2} x)^{1/2x}$ |
tumor post贸w: 8070 | 2015-01-10 18:18:07 $\lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e $ lub r贸wnowa偶nie $\lim_{x \to 0+}(1+x)^\frac{1}{x}=e$ zatem $\lim_{x \to 0+}(1+sin^2x)^\frac{1}{sin^2x}=e$ przy tym $sin^2x$ parzysta, czyli granica nie musi by膰 prawostronna $\lim_{x \to 0}(1+sin^2x)^\frac{1}{sin^2x}=e$ Zatem $\lim_{x \to 0}(1+sin^2x)^\frac{1}{2x}= \lim_{x \to 0}(1+sin^2x)^\frac{1*sin^2x}{sin^2x*2x}= \lim_{x \to 0}((1+sin^2x)^\frac{1}{sin^2x})^\frac{sin^2x}{2x}=e^0=1$ |
kasiula03 post贸w: 5 | 2015-01-10 19:48:46 a nie powinno by膰 $ e^{1}$ ? licz膮c granice z $ sin^{2}x/2x $ korzystaj膮c z twierdzenia de l\'Hospitala pochodna z licznika bedzie 2cosx, pochodna z mianownika b臋dzie 2, podstawiaj膮c za x,0. cos0=1 czyli zostaje nam 2*1/2 = 1. Czy si臋 myl臋? |
tumor post贸w: 8070 | 2015-01-10 19:55:42 Mylisz. Pochodna z $sin^2x$ to $2sinxcosx$. (Pochodna z艂o偶enia) |
kasiula03 post贸w: 5 | 2015-01-10 21:37:10 Ok teraz rozumiem, dzi臋kuje za pomoc :) |
kasiula03 post贸w: 5 | 2015-01-10 21:37:10 Ok teraz rozumiem, dzi臋kuje za pomoc :) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj