Analiza matematyczna, zadanie nr 3037
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| kasiula03 postów: 5 |  2015-01-10 16:00:55Miałam takie zadanie na kolokwium, próbowałam je rozwiązać, ale nie potrafiłam. $\lim_{ x\to 0 }(1+ sin^{2} x)^{x/2} $ Nie jestem pewna czy na pewno x dążyło do zera czy do nieskończoności, także prosiłabym o pomoc w tych dwóch przypadkach. Próbowałam zrobić z tego granice na e, ale musiałam się gdzieś pogubić. |
| tumor postów: 8070 | 2015-01-10 16:20:43 W obu przypadkach nie ma co liczyć, prawdopodobnie źle pamiętasz przykład. Gdyby $x\to \infty$, to granica oczywiście nie istnieje, bo możemy podać różne granice częściowe. Dla $x=k\pi$ granicą częściową jest 1, dla $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ granicą częściową jest $\infty$. Jeśli $x\to 0$, to $sin^2x\to 0$, czyli środek nawiasu zbliża się do liczby 1. Wykładnik $\frac{x}{2}\to 0$, a $1^0$ to wciąż 1, nie ma tu symbolu nieoznaczonego. |
| kasiula03 postów: 5 | 2015-01-10 17:23:42 Faktycznie w zadaniu było tak: $\lim_{ x\to 0 }(1+ sin^{2} x)^{1/2x}$ |
| tumor postów: 8070 | 2015-01-10 18:18:07 $\lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e $ lub równoważnie $\lim_{x \to 0+}(1+x)^\frac{1}{x}=e$ zatem $\lim_{x \to 0+}(1+sin^2x)^\frac{1}{sin^2x}=e$ przy tym $sin^2x$ parzysta, czyli granica nie musi być prawostronna $\lim_{x \to 0}(1+sin^2x)^\frac{1}{sin^2x}=e$ Zatem $\lim_{x \to 0}(1+sin^2x)^\frac{1}{2x}= \lim_{x \to 0}(1+sin^2x)^\frac{1*sin^2x}{sin^2x*2x}= \lim_{x \to 0}((1+sin^2x)^\frac{1}{sin^2x})^\frac{sin^2x}{2x}=e^0=1$ |
| kasiula03 postów: 5 | 2015-01-10 19:48:46 a nie powinno być $ e^{1}$ ? licząc granice z $ sin^{2}x/2x $ korzystając z twierdzenia de l'Hospitala pochodna z licznika bedzie 2cosx, pochodna z mianownika będzie 2, podstawiając za x,0. cos0=1 czyli zostaje nam 2*1/2 = 1. Czy się mylę? |
| tumor postów: 8070 | 2015-01-10 19:55:42 Mylisz. Pochodna z $sin^2x$ to $2sinxcosx$. (Pochodna złożenia) |
| kasiula03 postów: 5 | 2015-01-10 21:37:10 Ok teraz rozumiem, dziękuje za pomoc :) |
| kasiula03 postów: 5 | 2015-01-10 21:37:10 Ok teraz rozumiem, dziękuje za pomoc :) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj