logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 3041

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

adamk
postów: 27
2015-01-11 22:02:54

Pomoże ktoś? Rozpisz wzory i jak co robić?
W Czwartek mam z tego koło poprawkowe (ostatnie) i muszę "załapać"
schemat żeby mieć jakiekolwiek szanse na zdanie.


1, (a) (Dziedzina)
Wyznaczyć i naszkicować dziedzinę funkcji f oraz odpowiedzieć na pytanie:
Czy dziedzina jest zbiorem: spójnym, otwartym, domkniętym, ograniczonym, zwartym?
f(x,y)=$\frac {arcsin(x-2)+y}{sqrt{(x^2)-4x+(y^2)+2y)}}$

(b)(Powierzchnia/wykres)
Naszkicować i nazwać powierzchnię o równaniu $y=sqrt{4-2x^2-z^2}$
(c) (Granice)
Obliczyć granice iterowane funkcji f w punkcie P
$f(x,y)= 2x^2sin(y+\pi)$, P=(2,3/2PI)
2.
(a)(Pochodna kierunkowa)
Obliczyć pochodną kierunkową funkcji f w punkcie P w kierunku wektora h.
$f(x,y)=(x^2—2xy+4)Sqrt{x — 2}, P=(4,—3), h=[—2,1]$
(b)
Obliczyć pochodne cząstkowe I-go rzędu funkcji f.
$f(x,y)=\frac{e^(2x-yx^2-3)}{2ln(x-9y)}$
c
Wyznaczyć ekstrema lokanlne funkcji f.
$f(x,y)= (1/x)+(x/y)+y$
3.(Istnienie funcji uwikłanej)
Czy istnieje funkcja zmiennej y uwikłana równaniem $2x — e^y + 3 = 0 $w otoczeniu punktu (2, 0)? Odpowiedź uzasadnić,
(b) (Istnienie funkcji uwikłanej i jej pochodna/druga pochodna w punkcie)
Czy istnieje funkcja zmiennej x uwikłana równaniem $2x — e^y + 3 = 0$ w otoczeniu punktu (2, 0)? Jeśli to możliwe, to obliczyć f'(2) i f"(2).
(c) (Ekstrema funkcji uwikłanych)
Wyznaczyć ekstrema funkcji zmiennej y uwikłanych równaniem $x^2 + y^2 = 8x + 4y — 16
$


Będzie ktoś tak wspaniały kto się tego podejmie. Wiem że to dużo pracy;/. Uratujecie moje szanse na przetrwanie.


tumor
postów: 8070
2015-01-11 22:23:11

1. Dziedzina. W dziedzinie (podejrzewam, że w $R^n$) sprawdza się
a) mianowniki, nie dzielimy przez zero, więc mają być niezerowe
b) pierwiastki parzystych stopni (z liczb ujemnych byłyby zespolone, nie rzeczywiste)
c) logarytmy (w podstawie logarytmu musi być liczba dodatnia, różna od 1, liczba logarytmowana musi być dodatnia)
d) tg i ctg, bo można je rozumieć jako ilorazy sin i cos, czyli wyrzucamy z dziedziny punkty, gdzie się mianowniki zerują
e) arcsin i arccos mają dziedziny $[-1,1]$

Czyli trzeba wszystkie te założenia wypisać, wziąć część wspólną z rozwiązań.
Zbiór spójny intuicyjnie możesz rozumieć jako zbiór jednokawałkowy, niepocięty. Mniej intuicyjnie: zbiór jest spójny, jeśli nie da się go podzielić na dwa zbiory domknięto-otwarte.

Otwartość zależy od topologii, tu masz pewnie naturalną. Otwarte są (w dwóch wymiarach) iloczyny kartezjańskie $(a,b)\times(c,d)$, czyli kwadraty bez brzegów, oraz WSZYSTKIE zbiory, które można utworzyć sumując takie iloczyny (nieważne, ile ich trzeba posumować).
Lub alternatywnie: otwarte są wszelkie koła (o dodatnim promieniu) bez brzegów oraz wszelkie sumy takich kół :)

Zbiór domknięty to taki, którego dopełnienie jest otwarte. W $R^n $ zbiór zwarty jest wtedy, gdy jest jednocześnie domknięty i ograniczony. A jest ograniczony w $R^n $na przykład wtedy, gdy istnieje promień $r$ taki, że cały zbiór daje się zamknąć w okręgu o tym promieniu. (Gdzie jest środek, to nieważne)

Na podstawie wskazówek spróbuj rozwiązać pierwsze zadanie.



adamk
postów: 27
2015-01-12 20:11:00

Dzięki Tumor, jesteś wielki :D Troszkę to skomplikowane.
Najlepiej uczę się na przykładach, ale twoje rady będą na pewno bardzo pomocne :)

Pomoże ktoś z pozostałymi zadaniami?



tumor
postów: 8070
2015-01-12 20:58:53

2. b)

Pochodne cząstkowe licz tak, jakby wszystko poza jedną zmienną było stałymi.

$f(x,y)=e^{2x-yx^2-3}*\frac{1}{2}*(ln(x-9y))^{-1}$
Czyli na przykład pochodna po x będzie wyglądać tak

$f_x^,(x,y)=e^{2x-yx^2-3}*(2-2yx)*\frac{1}{2}(ln(x-9y))^{-1}-e^{2x-yx^2-3}*\frac{1}{2}*(ln(x-9y))^{-2}*\frac{1}{x-9y}$

natomiast po y tak

$f_y^,(x,y)=e^{2x-yx^2-3}*(-x^2)*\frac{1}{2}*(ln(x-9y))^{-1}-
(ln(x-9y))^{-2}*\frac{1}{x-9y}*(-9)*e^{2x-yx^2-3}*\frac{1}{2}$

Czyli gdy liczymy po x to y traktujemy jak stałą, a gdy po y, to x tak traktujemy.




tumor
postów: 8070
2015-01-12 21:12:05

2.
c)
$f(x,y)=\frac{1}{x}+\frac{x}{y}+y$

Liczymy pochodne cząstkowe jak wcześniej

$f_x^'(x,y)=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y}$
$f_y^'(x,y)=-\frac{x}{y^2}+1$

Szukamy punktów, dla których zerują się obie pochodne.
Musi być $y=x^2$ oraz $x=y^2$, czyli $y=y^4$, a przy tym x,y nie są zerami. Dostajemy zatem punkt $(1,1)$

Liczymy drugie pochodne

$f_{xx}^{''}(x,y)=\frac{2}{x^3}$
$f_{xy}^{''}(x,y)=-\frac{1}{y^2}$
$f_{yy}^{''}(x,y)=\frac{2x}{y^3}$

Tworzymy macierz

$\left[\begin{matrix} f_{xx}^{''}(1,1) &f_{xy}^{''}(1,1) \\ f_{xy}^{''}(1,1)& f_{yy}^{''}(1,1)\end{matrix}\right]=
\left[\begin{matrix} 2 &-1 \\ -1& 2\end{matrix}\right]$

Jeśli wyznacznik jest dodatni (jak tu), to mamy ekstremum. Gdyby był ujemny, to nie mamy, gdyby zerowy, to nie wiadomo.

Jeśli ponadto $f_{xx}^{''}>0$ to mamy minimum (jak tu), a gdyby $f_{xx}^{''}<0$, to byłoby maksimum.

Zatem w (1,1) mamy minimum.


adamk
postów: 27
2015-01-14 21:02:23

Tu rozumiem wszystko Dzięki ;p
Tylko ta pochodna kierunkowa mnie troszkę niepokoi.
NO i bladego pojęcia nie mam o funkcjach uwikłanych a poprawa już w piątek :(

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj