Analiza matematyczna, zadanie nr 3083

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
braciaratujcie postów: 13	2015-01-19 16:49:12 Witajcie, oto jedno z dwóch zadań, z którymi nie mogę sobie poradzić: Byłbym niezmiernie wdzięczny za pomoc! Nie zwykłem prosić o rozwiązania - zawsze pracowałem samodzielnie, lecz teraz mam nóż na gardle (czas do jutra), a przerażają mnie te wszystkie dowody...

braciaratujcie postów: 13	2015-01-19 17:21:17 ZGODNIE Z PROŚBĄ O WSTAWIENIE ZADAŃ W TEX'IE: Określamy funkcje $f : R \rightarrow R$ wzorem $f(x)= \begin{cases} 0, x = 0, \\ 0, x \not \in Q \\ \frac{1}{q}, x = \frac{p}{q} \in Q \end{cases}$ gdzie $\frac{p}{q}$ to ułamek nieskracalny. Udowodnić, ze $f$ jest ciągła w punkcie $x$ wtedy i tylko wtedy gdy $x \not \in Q$ lub $x = 0$.

tumor postów: 8070	2015-01-19 17:49:18 Na początek wypada dodać, że $q$ jest liczbą naturalną, bo wcale wymierności by nie przeczyło, gdyby było całkowitą ujemną, ale wówczas funkcja byłaby źle określona. Jeśli $x\in Q\backslash \{0\}$ to $f(x)=\frac{1}{q}$ oraz w każdym otoczeniu punktu $x$ istnieją elementy niewymierne. Jeśli zatem przyjmiemy $0<\epsilon<\frac{1}{q}$, to nie znajdziemy otoczenia U punktu $x$ takiego, że dla wszystkich $y\in U$ będzie $\|f(y)-\frac{1}{q}\|<\epsilon$. Jeśli $x=0$, to oczywiście dla $\frac{p}{q}=y\in (x-\epsilon, x+\epsilon)$ mamy $\|f(x)-f(y)\|=\frac{1}{q}\le \frac{\|p\|}{q}<\epsilon$. A teraz się muszę zastanowić, jak z tymi niewymiernymi. Aha. Ustalmy $\epsilon=\frac{1}{n_0}$, gdzie $n_0$ jest pewną liczbą naturalną. Oczywiście $\epsilon$ jest tak naprawdę dowolny dodatni, ale dla udowodnienia ciągłości możemy go sobie dodatkowo zmniejszyć, czyli wystarczy nam rozpatrywanie takich ułamków. Weźmy $x\in R\backslash Q$, wtedy $f(x)=0$. Niech $a=max\{z\in Z: z<x\}$ $b=min\{z\in Z: z>x\}$. Niech teraz $A_n=\{y\in (a,b):f(y)=\frac{1}{n}\}$. Dla każdego $n$ naturalnego zbiór $A_n$ jest skończony. Zatem $B=\bigcup_{n\le n_0}A_n$ jest zbiorem skończonym (należą do niego wszystkie elementy zbioru $(a,b)$, dla których $f$ przyporządkowuje wartość większą lub równą $\epsilon$). Niech zatem $\delta=min_{y\in B}\|y-x\|$ (to najmniejsza odległość od punktu, którego wartość jest większa lub równa $\epsilon$). Wtedy dla $y\in (x-\delta, x+\delta)$ spełniony jest warunek $\|f(x)-f(y)\|<\epsilon$.

braciaratujcie postów: 13	2015-01-19 20:12:16 Wielkie dzięki, zgadza się. Dla potomnych, którzy będą szukać tego w wyszukiwarce Google, dopiszę hasło: Dowód funkcji Riemanna

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj