logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 3093

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

adampw
postów: 8
2015-01-20 22:50:34

Pokaz, ze macierz kwadratowa trójkatna górna jest nieosobliwa
wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wyrazy na jej przekatnej sa rózne od 0.


tumor
postów: 8070
2015-01-21 06:17:14

Niech $a_1,a_2,...,a_{n-1},a_n$ będą wyrazami na przekątnej.

Liczymy wyznacznik przez rozwinięcie względem pierwszej kolumny, dostajemy, że to $a_1*detA_{1,1}$, gdzie $A_{1,1}$ to nasza macierz pozbawiona pierwszego wiersza i pierwszej kolumny. Indukcyjnie: otrzymujemy, że wyznacznik macierzy trójkątnej górnej jest równy iloczynowi
$a_1*a_2*...*a_n$. Czyli oczywiste - jest różny od zera gdy na przekątnej są tylko wyrazy różne od zera, jest równy zero gdy choć jeden wyraz na przekątnej jest równy zero.


adampw
postów: 8
2015-01-21 14:20:50

Rzecz w tym, że interesuje mnie dowód BEZ wykorzystywania wyznaczników. Wtedy nie jest to takie trywialne.
Póki co miałem obrazy, jądra i eliminację Gaussa. Wyznaczniki będą później.

Jakiś pomysł, jak się za to zabrać?
Bardzo proszę o wskazówki.


tumor
postów: 8070
2015-01-21 16:59:27

a jak zdefiniowano macierz nieosobliwą?


adampw
postów: 8
2015-01-21 18:21:17

W taki oto sposób: $A \cdot A^{-1} = I_{n}$


tumor
postów: 8070
2015-01-21 20:58:46

A jak tworzycie macierz odwrotną?
Trzeba pokazać, że jeśli A ma na przekątnej wartości niezerowe, to da się stworzyć odwrotną do A, natomiast jeśli jest na przekątnej choć jedno 0, to się odwrotnej stworzyć nie da (czyli żadne mnożenie A przez coś nie da w wyniku I).



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 21 drukuj