Logika, zadanie nr 3101
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
karaoken post贸w: 6 |  2015-01-22 22:27:301. Jaka jest moc zbioru {$(x,y) \in Q^{2}: x^{2} + y^{2} =1$} 2. Jakie s膮 moce zbior贸w wszystkich ci膮g贸w liczb rzeczywistych zbie偶nych do zera i ca艂kowitych zbie偶nych do zera? 3. Jaka jest moc zbioru a.{$X \subset N:|X|< \aleph_{0} $}, b.{$X \subset N:|X|= \aleph_{0}$}, c.{$X \subset R:|X|< \aleph_{0}$}, d.{$X \subset R:|X|= \aleph_{0}$} |
karaoken post贸w: 6 | 2015-01-22 22:29:20 Wynik贸w potrafi臋 si臋 domy艣li膰, nie wiem jednak jak dobrze udowodni膰. btw nie da si臋 tu post贸w edytowa膰? |
kebab post贸w: 106 | 2015-01-23 00:07:04 1. $A=\{ (x,y)\in Q^2 : x^2+y^2=1 \}$ Moc zbioru $A$ jest co najwy偶ej $\aleph_0$ bo moc zbioru wszystkich par liczb wymiernych wynosi $\aleph_0$ Czyli $|A|\le \aleph_0$ Ale zbi贸r $A$ jest niesko艅czony bo np. $(x,y)=\left(\frac{2n}{n^2+1},\frac{n^2-1}{n^2+1}\right)$ Zatem $|A|=\aleph_0$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2015-01-23 00:07:46 przez kebab |
tumor post贸w: 8070 | 2015-01-23 06:24:59 2. Ca艂kowite zbie偶ne do zera powiedzie膰 艂atwo, b臋dzie $\aleph_0$. Ci膮g taki musi mie膰 pocz膮wszy od n-tego miejsca zera, dla pewnego n naturalnego. Na wcze艣niejszych n-1 miejscach mo偶e mie膰 dowolne liczby ca艂kowite. Ilo艣膰 ci膮g贸w maj膮cych zera od pierwszego miejsca jest sko艅czona, od drugiego - niesko艅czona przeliczalna, od trzeciego - niesko艅czona przeliczalna etc, st膮d zbi贸r wszystkich ma moc jak przeliczalna suma zbior贸w przeliczalnych. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2015-02-07 10:46:10 przez tumor |
tumor post贸w: 8070 | 2015-01-23 06:37:21 3. a) sko艅czonych podzbior贸w N jest przeliczalnie wiele, argumentacja jak w zadaniu 2. Podzbior贸w zeroelementowych jest sko艅czenie wiele, podzbior贸w jednoelementowych niesko艅czenie przeliczalnie wiele, dwuelementowych niesko艅czenie przeliczalnie wiele (il. kartezja艅ski zbior贸w przeliczalnych to zbi贸r przeliczalny), etc. Sumujemy, a przeliczalna suma zbior贸w przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym. b) skoro podzbior贸w N jest $2^{\aleph_0}=\mathbb{c}$, a sko艅czonych jest $\aleph_0$, to niesko艅czonych... c) argumentacja analogiczna do a). Podzbior贸w jednoelementowych jest $\mathbb{c}$, dwuelementowych... d) argumentacja jak w b), skoro wszystkich podzbior贸w R jest $2^\mathbb{c}$, a sko艅czonych jest..., to niesko艅czonych... |
karaoken post贸w: 6 | 2015-01-23 16:49:36 Podzbior贸w N jest $2^{\aleph_{0}}$ bo je偶eli zbi贸r ma n element贸w to ilo艣膰 jego podzbior贸w to $2^{n}$, nie musz臋 tego udowadnia膰? I w艂a艣ciwie to ile jest tych podzbior贸w niesko艅czonych R, bo mi wygl膮da na to 偶e wi臋cej ni偶 c, co to znaczy wi臋ksze ni偶 c? To samo w zadaniach: 1. Poka偶 偶e $n \cdot \aleph_{0}=\aleph_{0} ^{n}=\aleph_{0}$ dla ka偶dej liczby naturalnej n>0. Wyznacz liczb臋 $\aleph_{0} ^{\aleph_{0}}$ Dlaczego takie co艣 zachodzi? W normalnych liczbach to nie ma sensu. 2.Udowodnij, 偶e je艣li A jest zbiorem niesko艅czonym, to $\left| A\right|<\left| A ^{A} \right|$ Co to znaczy moc A do pot臋gi A? Jakby by艂a moc A do pot臋gi mocy A to OK ale tak to nie wiem co to w og贸le znaczy. |
tumor post贸w: 8070 | 2015-01-23 18:23:55 Olaboga, kto艣 si臋 nie uczy na bie偶膮co. :) Moc zbioru N (a tak偶e Q, Z, $N^2$, $N^n$,...) oznaczamy $\aleph_0$. Moc zbioru R (a tak偶e R\backslash Q, C, $R^n$) oznaczamy $\mathbb{c}$. Je艣li x jest moc膮 zbioru A, to: ka偶dy podzbi贸r wyznacza funkcj臋 charakterystyczn膮, czyli kat膮, kt贸ra elementom podzbioru przyporz膮dkowuje 1, a pozosta艂ym 0. Ilo艣膰 funkcji $A\to \{0,1\}$ oznaczamy $2^x$. Dla zbior贸w sko艅czonych pokrywa si臋 to z normalnym pot臋gowaniem. Moc zbioru liczb rzeczywistych jest r贸wna mocy zbioru P(N)=$2^N$, czyli zbioru pot臋gowego N, czyli rodziny wszystkich podzbior贸w N. Dla KA呕DEGO zbioru A jego zbi贸r pot臋gowy ma WI臉KSZ膭 moc ni偶 A (nie r贸wn膮). Dlatego moc rodziny wszystkich podzbior贸w R to wi臋cej ni偶 moc R. Dow贸d tego twierdzenia powinien by膰 na wyk艂adzie, bywa te偶 w podr臋cznikach teorii mnogo艣ci. Je艣li sko艅czonych podzbior贸w R jest $\mathbb{c}$, a wszystkich $2^\mathbb{c}$, to niesko艅czonych jest $2^\mathbb{c}-\mathbb{c}=2^\mathbb{c}$. Liczby kardynalne okre艣laj膮ce moce zbior贸w niesko艅czonych odejmuj膮 si臋 tak w艂a艣nie. :) --- 1. Moc liczb naturalnych to $\aleph_0$, moc liczb ca艂kowitych to $2*\aleph_0$, bo naturalne dodatnie i ich przeciwie艅stwa, ale istnieje bijekcja z naturalnych (dodatnich) na ca艂kowite, na przyk艂ad dana wzorami $f(n)=n/2$ dla n parzystych $f(n)=-(n-1)/2$ dla n nieparzystych Zatem moce N i Z s膮 r贸wne. Czyli $2*\aleph_0=\aleph_0.$ Rozumuj膮c analogicznie $2*\aleph_0=3*\aleph_0$, st膮d $n*\aleph_0=\aleph_0.$ Podobnie istnieje bijekcja z $N^2$ na $N$ dana wzorem $f(n,m)=2^{n-1}(2m-1)$ (rozumiem tu naturalne bez zera, ale po drobnej przer贸bce wz贸r b臋dzie dobry dla naturalnych z zerem). St膮d $\aleph_0^2=\aleph_0$. Zn贸w przez indukcj臋 mamy $\aleph_0^n=\aleph_0$ |
tumor post贸w: 8070 | 2015-01-23 18:34:12 2. Zbi贸r $A^A$ proponuj臋 rozumie膰 jako zbi贸r wszystkich funkcji z A w A. Je艣li A ma co najmniej dwa elementy, to wszystkich funkcji z A w A jest nie mniej ni偶 funkcji charakterystycznych, czyli nie mniej ni偶 $2^{|A|}$. Zatem mamy $|A|\le 2^{|A|}\le |A^A|$ Poka偶emy, 偶e pierwsza z nier贸wno艣ci jest ostra. Niech $f:A\to P(A)$. Ostro艣膰 nier贸wno艣ci powy偶ej jest r贸wnowa偶na twierdzeniu, 偶e f nie jest bijekcj膮. Niech $B=\{x\in A: x\notin f(x)\}$ W贸wczas $B\in P(A)$ oraz B nie jest dla 偶adnego $a\in A$ r贸wne f(a). Zatem f nie jest bijekcj膮. Zatem $|A|<|P(A)|$. --- |
karaoken post贸w: 6 | 2015-02-07 10:28:09 Kto艣 robi艂 3d. na tablicy i wysz艂a odpowied藕 c a Ty napisa艂e艣 偶e $2^{c}$ kto ma racj臋?:) |
tumor post贸w: 8070 | 2015-02-07 10:48:18 Kto艣. Napisa艂em, 偶e rozumowanie jest analogiczne, a nie jest, bo 藕le przeczyta艂em przyk艂ad. :) Funkcji z N w R jest $c^{\aleph_0}=c$, |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj