logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 3141

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

karaoken
postów: 6
2015-01-27 18:09:00

1. Uzasadnij że zbiór W={(x,y,z,t)$\in R^{4}$: x-y+z=t} jest podprzestrzenią liniową $R^{4}$ oraz wyznacz bazę przestrzeni W.

2. Uzasadnij że f: $R^{4} \rightarrow R^{4}$ zadana wzorem:
f((x,y,z,t))=(x-y+t,y-z+x,z-t+y,t-x+z) jest funkcją liniową oraz wyznacz dim(ker(f)) i dim(Im(f)).


Aneta
postów: 1255
2015-01-27 21:42:36

1.
$W=\{[x,y,z,t] \in R^4: x-y+z=t \}=\{[y+t-z,y,z,t]; (y,z,t) \in R^4 \}$

$=\{ [y,y,0,0]+[z,0,z,0]+[-t,0,0,t] ; [y,z,t] \in R^4 \}$

$=\{ y[1,1,0,0]+z[1,0,1,0]+t[-1,0,0,1] ; [y,z,t] \in R^4 \}$

$Lin([1,1,0,0],[1,0,1,0],[-1,0,0,1])$ jest podprzestrzenią $R^4$

Rząd macierzy $r(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix})=3$

czyli $\dim V=3$


karaoken
postów: 6
2015-01-27 22:01:26

Hm nieźle, ja to zrobiłem jakoś przekształceniami że skończyłem na ($\alpha+\beta)\cdot$(x1+x2,y1+y2,z1+z2,x1+x2-y1-y2+z1z2) po czym szukałem wektorów które dadzą rząd macierzy 4 ale nie mogłem znaleźć, jeśli robi się tak jak ja zrobiłem to da się określić czy będa istniały takie 4 wektory żeby nie musieć szukać?


Aneta
postów: 1255
2015-01-27 23:21:29


$\left\{\begin{matrix} x-y+t=0 \\ y-z+x=0 \\ z-t+y=0 \\ t-x+z=0 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x=\alpha \\ y=\beta \\ t=\beta - \alpha \\ z= \beta + \alpha \end{matrix}\right.$

$=\alpha(1,0,1,-1)+\beta(0,1,1,1)$

$Lin((1,0,1,-1),(0,1,1,1,))$
$dim(kerf)=2$

$dimf=dim(kerf)+dim(imf)$

Wiadomość była modyfikowana 2015-01-27 23:48:24 przez Aneta
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 23 drukuj