logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3142

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

pietrucha
postów: 18
2015-01-27 18:45:22

Dla dowolnych liczb rzeczywistych ($a_{n}$), ($b_{n}$), ($c_{n}$) $\in$ R spełnione są następujące warunki :
i) ($a_{n}$) + ($b_{n}$ + $c_{n}$) = ($a_{n}$ + $b_{n}$) + ($c_{n}$)
ii) ($a_{n}$) + (0) = ($a_{n}$)
iii) ($a_{n}$) + ($-a_{n}$) = (0)
iv) ($a_{n}$) $\cdot$ ($b_{n}$ $\cdot$ $c_{n}$) = ($a_{n}$ $\cdot$ $b_{n}$) $\cdot$ ($c_{n}$)
v) ($a_{n}$) $\cdot$ (1) = ($a_{n}$)
vi) ($a_{n}$) $\neq$ (0) $\Rightarrow$ ($a_{n}$) $\cdot$ ($a_{n}^{-1}$) = (1)
vii) ($a_{n}$) $\cdot$ ($b_{n}$ + $c_{n}$) = ($a_{n}$ $\cdot$ $b_{n}$) + ($a_{n}$ $\cdot$ $c_{n}$)

To są wszystko klasy abstrakcji tylko, że gdy chcę wstawić nawiasy prostokątne wyskakują mi błędy, także przepraszam.

2) Ciąg rzeczywisty ($a_{n}$) jest zbieżny w zbiorze R wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg ($a_{n}$) spełnia warunek Cauchy'ego w zbiorze R.

Proszę o pomoc.


Wiadomość była modyfikowana 2015-01-28 13:35:05 przez pietrucha

tumor
postów: 8070
2015-07-05 09:23:52

Czasami warto dać jakieś polecenie.

Klasy abstrakcji dotyczą relacji równoważności, nazwijmy ją R, jest ona zwrotna, przechodnia, symetryczna.
Z definicji działań na klasach abstrakcji mamy
$[a]+[b]=[a+b]$
$[a]\cdot [b]=[a\cdot b]$

stąd od razu
$[a]+[b+c]=[a+b+c]=[a+b]+[c]$
$[a]+[0]=[a+0]=[a]$
$[a]+[-a]=[a-a]=[0]$
$[a]\cdot [b\cdot c]=[a\cdot b\cdot c]=[a\cdot b]\cdot [c]$
$[a]\cdot [1]=[a\cdot 1]=[a]$
$[a]\cdot [a^{-1}]=[a\cdot a^{-1}]=[1]$ o ile $a\neq 0$
$[a]\cdot [b+c]=[a\cdot b+a\cdot b]=[a\cdot b]+[a\cdot c]$




janusz78
postów: 820
2015-07-05 22:44:04

Zad.2

Korzystamy z definicji ciągu Cauchy'ego.

Ciąg elementów przestrzeni metrycznej $ (X, d)$ jest ciągiem Cauchy'ego, jeżeli spełnia warunek

$\forall_{\epsilon >0}\exists_{k\in N}\forall_{i,j\geq k}\ \ d(x_{i}, x_{j})\leq \epsilon.$ (1)

Dowód
$\rightarrow $

Niech dana będzie przestrzeń metryczna $ (R, d)$ z metryką naturalną $ d=|x-y|.$

Niech $(x_{i})$ będzie ciągiem zbieżnym w przestrzeni metrycznej $(R, d).$

Przyjmijmy, że $\lim_{i\to \infty}x_{i} = x.$

Skoro $(x_{i})$ jest zbieżny do $ x$, to istnieje takie $k\in N, $że dla każdego \ \$i\geq k$będzie spełniona nierówność \ \ $|x_{i}-x|< \frac{\epsilon}{2}.$

Stąd dla wszystkich\ \$i,j\geq k$

$|x_{i}-x_{j}|\leq |x_{i}-x| +|x -x_{j}] $ czyli $ x_{i}$ jest ciągiem Cauchy'ego.

$\leftarrow $

Załóżmy, że ciąg $(x_{i})$ jest ciągiem Cauchy'ego w przestrzeni metrycznej $ (R, d).$

Na przykład dla$ \epsilon= 1$ dobierzmy $k\in N$ zgodnie z definicją (1).

Dla każdego $ i\geq k$ będzie wówczas $|x_{i}-x_{k}|\geq 1$

Dla $ i\in\left\{1,2,...,k\right\}$ będzie natomiast

$|x_{i}- x_{k}|\leq max(|x_{1}-x_{k}|,|x_{2}-x_{k}|...|x_{k-1}- x_{k}|) = r< \infty.$

Przyjmując $\epsilon = max(1, r)$, dla każdego $i\in N $ otrzymamy

$|x_{i} - x_{k}|\leq \epsilon $, a to oznacza, że ciąg $(x_{i})$ jest zbieżny.

c.b.d.o.

Z twierdzenia tego wynika, że przestrzeń metryczna ciągów liczb rzeczywistych jest przestrzenią zupełną.





strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj