Analiza matematyczna, zadanie nr 3142
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
pietrucha post贸w: 18 |  2015-01-27 18:45:22Dla dowolnych liczb rzeczywistych ($a_{n}$), ($b_{n}$), ($c_{n}$) $\in$ R spe艂nione s膮 nast臋puj膮ce warunki : i) ($a_{n}$) + ($b_{n}$ + $c_{n}$) = ($a_{n}$ + $b_{n}$) + ($c_{n}$) ii) ($a_{n}$) + (0) = ($a_{n}$) iii) ($a_{n}$) + ($-a_{n}$) = (0) iv) ($a_{n}$) $\cdot$ ($b_{n}$ $\cdot$ $c_{n}$) = ($a_{n}$ $\cdot$ $b_{n}$) $\cdot$ ($c_{n}$) v) ($a_{n}$) $\cdot$ (1) = ($a_{n}$) vi) ($a_{n}$) $\neq$ (0) $\Rightarrow$ ($a_{n}$) $\cdot$ ($a_{n}^{-1}$) = (1) vii) ($a_{n}$) $\cdot$ ($b_{n}$ + $c_{n}$) = ($a_{n}$ $\cdot$ $b_{n}$) + ($a_{n}$ $\cdot$ $c_{n}$) To s膮 wszystko klasy abstrakcji tylko, 偶e gdy chc臋 wstawi膰 nawiasy prostok膮tne wyskakuj膮 mi b艂臋dy, tak偶e przepraszam. 2) Ci膮g rzeczywisty ($a_{n}$) jest zbie偶ny w zbiorze R wtedy i tylko wtedy, gdy ci膮g ($a_{n}$) spe艂nia warunek Cauchy\'ego w zbiorze R. Prosz臋 o pomoc. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2015-01-28 13:35:05 przez pietrucha |
tumor post贸w: 8070 | 2015-07-05 09:23:52 Czasami warto da膰 jakie艣 polecenie. Klasy abstrakcji dotycz膮 relacji r贸wnowa偶no艣ci, nazwijmy j膮 R, jest ona zwrotna, przechodnia, symetryczna. Z definicji dzia艂a艅 na klasach abstrakcji mamy $[a]+[b]=[a+b]$ $[a]\cdot [b]=[a\cdot b]$ st膮d od razu $[a]+[b+c]=[a+b+c]=[a+b]+[c]$ $[a]+[0]=[a+0]=[a]$ $[a]+[-a]=[a-a]=[0]$ $[a]\cdot [b\cdot c]=[a\cdot b\cdot c]=[a\cdot b]\cdot [c]$ $[a]\cdot [1]=[a\cdot 1]=[a]$ $[a]\cdot [a^{-1}]=[a\cdot a^{-1}]=[1]$ o ile $a\neq 0$ $[a]\cdot [b+c]=[a\cdot b+a\cdot b]=[a\cdot b]+[a\cdot c]$ |
janusz78 post贸w: 820 | 2015-07-05 22:44:04 Zad.2 Korzystamy z definicji ci膮gu Cauchy\'ego. Ci膮g element贸w przestrzeni metrycznej $ (X, d)$ jest ci膮giem Cauchy\'ego, je偶eli spe艂nia warunek $\forall_{\epsilon >0}\exists_{k\in N}\forall_{i,j\geq k}\ \ d(x_{i}, x_{j})\leq \epsilon.$ (1) Dow贸d $\rightarrow $ Niech dana b臋dzie przestrze艅 metryczna $ (R, d)$ z metryk膮 naturaln膮 $ d=|x-y|.$ Niech $(x_{i})$ b臋dzie ci膮giem zbie偶nym w przestrzeni metrycznej $(R, d).$ Przyjmijmy, 偶e $\lim_{i\to \infty}x_{i} = x.$ Skoro $(x_{i})$ jest zbie偶ny do $ x$, to istnieje takie $k\in N, $偶e dla ka偶dego \ \$i\geq k$b臋dzie spe艂niona nier贸wno艣膰 \ \ $|x_{i}-x|< \frac{\epsilon}{2}.$ St膮d dla wszystkich\ \$i,j\geq k$ $|x_{i}-x_{j}|\leq |x_{i}-x| +|x -x_{j}] $ czyli $ x_{i}$ jest ci膮giem Cauchy\'ego. $\leftarrow $ Za艂贸偶my, 偶e ci膮g $(x_{i})$ jest ci膮giem Cauchy\'ego w przestrzeni metrycznej $ (R, d).$ Na przyk艂ad dla$ \epsilon= 1$ dobierzmy $k\in N$ zgodnie z definicj膮 (1). Dla ka偶dego $ i\geq k$ b臋dzie w贸wczas $|x_{i}-x_{k}|\geq 1$ Dla $ i\in\left\{1,2,...,k\right\}$ b臋dzie natomiast $|x_{i}- x_{k}|\leq max(|x_{1}-x_{k}|,|x_{2}-x_{k}|...|x_{k-1}- x_{k}|) = r< \infty.$ Przyjmuj膮c $\epsilon = max(1, r)$, dla ka偶dego $i\in N $ otrzymamy $|x_{i} - x_{k}|\leq \epsilon $, a to oznacza, 偶e ci膮g $(x_{i})$ jest zbie偶ny. c.b.d.o. Z twierdzenia tego wynika, 偶e przestrze艅 metryczna ci膮g贸w liczb rzeczywistych jest przestrzeni膮 zupe艂n膮. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj