Analiza matematyczna, zadanie nr 3142
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
pietrucha postów: 18 | 2015-01-27 18:45:22 Dla dowolnych liczb rzeczywistych ($a_{n}$), ($b_{n}$), ($c_{n}$) $\in$ R spełnione są następujące warunki : i) ($a_{n}$) + ($b_{n}$ + $c_{n}$) = ($a_{n}$ + $b_{n}$) + ($c_{n}$) ii) ($a_{n}$) + (0) = ($a_{n}$) iii) ($a_{n}$) + ($-a_{n}$) = (0) iv) ($a_{n}$) $\cdot$ ($b_{n}$ $\cdot$ $c_{n}$) = ($a_{n}$ $\cdot$ $b_{n}$) $\cdot$ ($c_{n}$) v) ($a_{n}$) $\cdot$ (1) = ($a_{n}$) vi) ($a_{n}$) $\neq$ (0) $\Rightarrow$ ($a_{n}$) $\cdot$ ($a_{n}^{-1}$) = (1) vii) ($a_{n}$) $\cdot$ ($b_{n}$ + $c_{n}$) = ($a_{n}$ $\cdot$ $b_{n}$) + ($a_{n}$ $\cdot$ $c_{n}$) To są wszystko klasy abstrakcji tylko, że gdy chcę wstawić nawiasy prostokątne wyskakują mi błędy, także przepraszam. 2) Ciąg rzeczywisty ($a_{n}$) jest zbieżny w zbiorze R wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg ($a_{n}$) spełnia warunek Cauchy'ego w zbiorze R. Proszę o pomoc. Wiadomość była modyfikowana 2015-01-28 13:35:05 przez pietrucha |
tumor postów: 8070 | 2015-07-05 09:23:52 Czasami warto dać jakieś polecenie. Klasy abstrakcji dotyczą relacji równoważności, nazwijmy ją R, jest ona zwrotna, przechodnia, symetryczna. Z definicji działań na klasach abstrakcji mamy $[a]+[b]=[a+b]$ $[a]\cdot [b]=[a\cdot b]$ stąd od razu $[a]+[b+c]=[a+b+c]=[a+b]+[c]$ $[a]+[0]=[a+0]=[a]$ $[a]+[-a]=[a-a]=[0]$ $[a]\cdot [b\cdot c]=[a\cdot b\cdot c]=[a\cdot b]\cdot [c]$ $[a]\cdot [1]=[a\cdot 1]=[a]$ $[a]\cdot [a^{-1}]=[a\cdot a^{-1}]=[1]$ o ile $a\neq 0$ $[a]\cdot [b+c]=[a\cdot b+a\cdot b]=[a\cdot b]+[a\cdot c]$ |
janusz78 postów: 820 | 2015-07-05 22:44:04 Zad.2 Korzystamy z definicji ciągu Cauchy'ego. Ciąg elementów przestrzeni metrycznej $ (X, d)$ jest ciągiem Cauchy'ego, jeżeli spełnia warunek $\forall_{\epsilon >0}\exists_{k\in N}\forall_{i,j\geq k}\ \ d(x_{i}, x_{j})\leq \epsilon.$ (1) Dowód $\rightarrow $ Niech dana będzie przestrzeń metryczna $ (R, d)$ z metryką naturalną $ d=|x-y|.$ Niech $(x_{i})$ będzie ciągiem zbieżnym w przestrzeni metrycznej $(R, d).$ Przyjmijmy, że $\lim_{i\to \infty}x_{i} = x.$ Skoro $(x_{i})$ jest zbieżny do $ x$, to istnieje takie $k\in N, $że dla każdego \ \$i\geq k$będzie spełniona nierówność \ \ $|x_{i}-x|< \frac{\epsilon}{2}.$ Stąd dla wszystkich\ \$i,j\geq k$ $|x_{i}-x_{j}|\leq |x_{i}-x| +|x -x_{j}] $ czyli $ x_{i}$ jest ciągiem Cauchy'ego. $\leftarrow $ Załóżmy, że ciąg $(x_{i})$ jest ciągiem Cauchy'ego w przestrzeni metrycznej $ (R, d).$ Na przykład dla$ \epsilon= 1$ dobierzmy $k\in N$ zgodnie z definicją (1). Dla każdego $ i\geq k$ będzie wówczas $|x_{i}-x_{k}|\geq 1$ Dla $ i\in\left\{1,2,...,k\right\}$ będzie natomiast $|x_{i}- x_{k}|\leq max(|x_{1}-x_{k}|,|x_{2}-x_{k}|...|x_{k-1}- x_{k}|) = r< \infty.$ Przyjmując $\epsilon = max(1, r)$, dla każdego $i\in N $ otrzymamy $|x_{i} - x_{k}|\leq \epsilon $, a to oznacza, że ciąg $(x_{i})$ jest zbieżny. c.b.d.o. Z twierdzenia tego wynika, że przestrzeń metryczna ciągów liczb rzeczywistych jest przestrzenią zupełną. |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj