logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 316

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

wiktorwektor
postów: 9
2012-01-10 21:46:30

Witam, proszę o pomoc, kolokwium się zbliża

Znajdź przedziały monotoniczności:
a) $f(x)= (x-6)\sqrt{x}$
b) $f(x)= x\sqrt{2-x}$
c) $f(x)= x^4-3x^3-2x$

Pozostałe przykłady, po 3 najwyżej, wrzuć w następne tematy- pkt.8 Regulaminu

schemat rozwiązania ma być taki:
- dziedzina
- pochodna f'(x)
- równanie f'(x) = 0
- +, -, min, max,
- monotoniczność,

Za jakąkolwiek pomoc z góry dziękuję.

Wiadomość była modyfikowana 2012-01-11 11:37:13 przez irena

irena
postów: 2636
2012-01-11 11:43:53

a)
$f(x)=(x-6)\sqrt{x}$

$D_f=<0;\infty)$

$f'(x)=\sqrt{x}+\frac{x-6}{2\sqrt{6}}=\frac{2x+x-6}{2\sqrt{x}}=\frac{3x-6}{2\sqrt{x}}$

$f'(x)=0$
$3x-6=0$
$x=2$

$f'(x)>0$
$x>2$

$f'(x)<0$
$x\in(0;2)$

$f(0)=0$

$\lim_{x \to \infty}=\infty$

$f(2)=(2-6)\sqrt{2}=-4\sqrt{2}$

W przedziale $x\in<0;2>$ funkcja maleje.
W przedziale $x\in<2;\infty)$ funkcja rośnie.
Minimum lokalne (i globalne) to $f_{min}=-4\sqrt{2}$ dla x=2

Maksimum lokalnego (i globalnego) funkcja nie posiada

Wiadomość była modyfikowana 2012-01-11 11:59:11 przez irena

irena
postów: 2636
2012-01-11 11:56:31

b)
$f(x)=x\sqrt{2-x}$

$D_f=(-\infty;2>$

$f(2)=0$

$\lim_{x\to-\infty}=-\infty$

$f'(x)=\sqrt{2-x}-\frac{x}{2\sqrt{2-x}}=\frac{2(2-x)-x}{2\sqrt{2-x}}=\frac{4-3x}{2\sqrt{2-x}}$

$f'(x)=0$
$4-3x=0$
$x=\frac{4}{3}$

$f'(x)>0$
$x<\frac{4}{3}$

$f'(x)>0$
$x\in(\frac{4}{3};2>$

$f(\frac{4}{3})=\frac{4}{3}\sqrt{2-\frac{4}{3}}=\frac{4}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{6}}{9}$

Funkcja rośnie w przedziale $x\in(-\infty;\frac{4}{3}>$
Funkcja maleje w przedziale $x\in<\frac{4}{3};2>$

Maksimum lokalne (i globalne) to $f_{max}=\frac{4\sqrt{6}}{9}$ dla $x=\frac{4}{3}$.

Minimum lokalnego (i globalnego) funkcja nie ma.


wiktorwektor
postów: 9
2012-01-11 12:11:39

Dziękuję bardzo irena, zaraz będę to studiował

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 36 drukuj