logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 318

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

wiktorwektor
postów: 9
2012-01-11 12:09:11


Znajdź przedziały monotoniczności:
d) $f(x)= xe^{-x/2}$
e) $f(x)= 3^{\frac{1}{x-2}}$
f) $f(x)= x^2 - \frac{1}{2}\ln{x} $

schemat rozwiązania ma być taki:
- dziedzina
- pochodna f'(x)
- równanie f'(x) = 0
- +, -, min, max,
- monotoniczność,



irena
postów: 2636
2012-01-11 13:07:08

d)
$f(x)=e^{-\frac{x}{2}}$

$D_f=R$

$f'(x)=e^{-\frac{x}{2}}+x\cdot e^{-\frac{x}{2}}\cdot(-\frac{1}{2})=e^{-\frac{x}{2}}(1-\frac{1}{2}x)$

$f'(x)=0$
$1-\frac{1}{2}x=0$
$x=2$

$f'(x)>0$
$x<2$

$f'(x)<0$
$x>2$

$f(2)=2e^{-1}=\frac{2}{e}$

$\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$

$\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^{\frac{x}{2}}}=(H)=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}}=0$

Funkcja rośnie w przedziale $x\in(-\infty;2>$
Funkcja maleje w przedziale $x\in<2;\infty)$

Maksimum lokalne (i globalne) funkcji jest równe $f_{max}=\frac{2}{e}$ dla $x=2$.
Minimum lokalnego (i globalnego) funkcja nie ma.


irena
postów: 2636
2012-01-11 13:18:55

e)
$f(x)=3^{\frac{1}{x-2}}$

$D=R\setminus\{2\}$

$\lim_{x\to-\infty}f(x)=1$
$\lim_{x\to2_-}f(x)=0$
$\lim_{x\to2_+}f(x)=\infty$
$\lim_{x\to\infty}f(x)=1$

$f'(x)=3^{\frac{1}{x-2}}ln3\cdot\frac{-1}{(x-2)^2}=-\frac{ln3\cdot3^{\frac{1}{x-2}}}{(x-2)^2}$

$f'(x)<0$
$x\in R\setminus\{2\}$

Funkcja jest malejąca w przedziale $x\in(-\infty;2)$ oraz w przedziale $x\in(2;\infty)$

Funkcja nie ma ani minimum lokalnego, ani maksimum lokalnego. Nie ma też wartości najmniejszej oraz nie ma wartości największej.


irena
postów: 2636
2012-01-11 21:24:46

f)
$f(x)=x^2-\frac{1}{2}lnx$

$D_f=(0;\infty)$

$\lim_{x\to0_+}f(x)=\lim_{x\to0_+}(x^2+\frac{1}{2}ln\frac{1}{x})=\infty$

$\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$

$f'(x)=2x-\frac{1}{2x}=\frac{4x^2-1}{2x}$

$f'(x)=0$
$x=\frac{1}{2}$

$f'(x)>0$
$x>\frac{1}{2}$

$f'(x)<0$
$x\in(0;\frac{1}{2})$

$f(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}ln(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}+ln\sqrt{2}$

Funkcja maleje w przedziale $x\in(0;\frac{1}{2}>$

Funkcja rośnie w przedziale $x\in<\frac{1}{2};\infty)$

Funkcja ma minimum lokalne (i globalne) $f_{min}=\frac{1}{4}+ln\sqrt{2}$ dla $x=\frac{1}{2}$

Maksimum funkcja nie posiada

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 38 drukuj