logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 319

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

wiktorwektor
postów: 9
2012-01-11 12:10:45

Znajdź przedziały monotoniczności:
g) $f(x)= x\sqrt{4x-x^2}$
h) $f(x)= \sin{x} + \cos{x} $, dla $x\in(0,2\pi)$

schemat rozwiązania ma być taki:
- dziedzina
- pochodna f'(x)
- równanie f'(x) = 0
- +, -, min, max,
- monotoniczność,



irena
postów: 2636
2012-01-11 22:52:01

g)
$f(x)=x\sqrt{4x-x^2}$

$4x-x^2\ge0$
$x^2-4x\le0$
$x(x-4)\le0$

$D_f=<0;4>$

f(0)=0

f(4)=0

$f'(x)=\sqrt{4x-x^2}+x\cdot\frac{-2x+4}{2\sqrt{4x-x^2}}=\frac{4x-x^2-2x^2+4x}{2\sqrt{4x-x^2}}=\frac{-3x^2+8x}{2\sqrt{4x-x^2}}$

f'(x)=0
$-3x^2+8x=0$
$-x(3x-8)=0$
x=0 lub $x=\frac{8}{3}$

f'(x)>0
$x\in(0;\frac{8}{3})$

$f'(x)<0$
$x\in(\frac{8}{3};4)$

$f(\frac{8}{3})=\frac{8}{3}\sqrt{4\cdot\frac{8}{3}-\frac{64}{9}}=\frac{8}{3}\cdot\sqrt{\frac{32}{9}}=\frac{32\sqrt{2}}{9}$

Funkcja rośnie w przedziale $x\in<0;\frac{8}{3}>$
Funkcja maleje w przedziale $x\in<\frac{8}{3};4>$

Maksimum lokalne (i globalne) $f_{max}=\frac{32\sqrt{2}}{9}$ dla $x=\frac{8}{3}$

Najmniejszą wartość $f_{min}=0$ funkcja przyjmuje dla x=0 oraz dla x=4

Wiadomość była modyfikowana 2012-01-11 22:52:57 przez irena

irena
postów: 2636
2012-01-11 23:02:15

h)
$f(x)=sinx+cosx$

$D_f=(0;2\pi)$

$\lim_{x\to0_+}f(x)=1$

$\lim_{x\to2\pi}f(x)=1$

$f'(x)=cosx-sinx$

$f'(x)=0$
$cosx-sinx=0$
$cosx=sinx$
$x=\frac{\pi}{4}\vee x=\frac{5}{4}\pi$

$f'(x)>0$
$cosx>sinx$
$x\in(0;\frac{\pi}{4}\cup(\frac{5}{4}\pi;2\pi)$

$f'(x)<0$
$x\in(\frac{\pi}{4};\frac{5}{4}\pi)$

$f(\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$

$f(\frac{5}{4}\pi)=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Funkcja jest rosnąca w przedziale $x\in(0;\frac{\pi}{4}>$ oraz w przedziale $x\in<\frac{5}{4}\pi;2\pi)$

Funkcja jest malejąca w przedziale $x\in<\frac{\pi}{4};\frac{5}{4}\pi>$

Maksimum lokalne (i globalne) $f_{max}=\sqrt{2}$ dla $x=\frac{\pi}{4}$.

Minimum lokalne (i globalne) $f_{min}=-\sqrt{2}$ dla $x=\frac{5}{4}\pi$



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 33 drukuj