Inne, zadanie nr 3193

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
ksm postów: 2	2015-02-07 22:36:43 W którym z następujących punktów (-1, -2) lub (-1, -1), funkcja $$f(x,y)=x^{2}+3y^{2}-xy$$ ma najmniejszą wartość na trójkącie o wierzchołkach (-1, 1), (2, 1), (-1, -2)?

tumor postów: 8070	2016-06-27 10:33:53 Pochodne cząstkowe $\frac{\delta f}{\delta x}=2x-y$ $\frac{\delta f}{\delta y}=6y-x$ zerują się w (0,0), co leży wewnątrz trójkąta. Jeśli zatem interesuje nas trójkąt z wnętrzem, to nie ma co szukać dalej, liczba $x^2+3y^2-xy$ dla ujemnego iloczynu xy jest dodatnia, natomiast dla dodatniego xy mamy $x^2+3y^2-xy>x^2+y^2-2xy=(x-y)^2\ge 0$ czyli najmniejszą wartością funkcji jest 0 przyjmowane w (0,0). Gdyby interesował nas tylko brzeg: a) $x=-1, y\in (-2,1)$ funkcja ma postać $3y^2+y+1$ i przyjmuje wartość najmniejszą dla $y=\frac{-1}{6}$ b) $y=1, x\in (-1,2)$ będzie $x^2-x+3$ wartość najmniejsza dla $x=\frac{1}{2}$ c) $y=x-1, x\in (-1,2)$ $x^2+3(x-1)^2-x(x-1)$ $3x^2-5x+3$ wartość najmniejsza dla $x=\frac{5}{6}$ d) wierzchołki Mamy zatem, jeśli szukamy tylko na brzegu, 6 kandydatur dla wartości najmniejszej. Skoro funkcja na brzegach redukuje się do paraboli z ramionami w górę, a wierzchołki są w odpowiednich przedziałach, to tak naprawdę szukamy tylko wśród wartości na brzegach.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj