Analiza matematyczna, zadanie nr 320

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
wiktorwektor postów: 9	2012-01-11 22:37:20 Wyznacz ekstrema lokalne funkcji: a) $f(x) = x^4+2x^3$ b) $f(x) = e^{2x-x^2}$ c) $f(x) = x^2 \sqrt{1-x^2}$

irena postów: 2636	2012-01-12 09:41:41 a) $f(x)=x^4+2x^3$ $D_f=R$ $\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}x^3(x+2)=\infty$ $f'(x)=4x^3+6x^2$ $f'(x)=0$ $2x^2(x+3)=0$ x=0 lub x=-1,5 $f'(x)>0$ $2x+3>0$ i $x\neq0$ $x\in(-1,5;0)\cup(0;\infty)$ $f'(x)<0$ $x\in(-\infty;-1,5)$ $f(0)=0$ $f(-1,5)=(-\frac{3}{2})^4+2\cdot(-\frac{3}{2})^3=\frac{81}{16}-2\cdot\frac{27}{8}=\frac{27}{16}$ Funkcja jest malejąca w przedziale $x\in(-\infty;-1,5>$ Funkcja jest rosnąca w przedziale $x\in<-1,5;\infty)$ Funkcja ma minimum lokalne (i globalne) $f_{min}=\frac{27}{16}$ dla $x=-1,5$ Funkcja nie ma maksimum lokalnego (globalnego też nie posiada). Dla x=0 wykres funkcji ma punkt przegięcia

irena postów: 2636	2012-01-12 09:56:32 b) $f(x)=e^{2x-x^2}$ $D_f=R$ $f'(x)=(-2x+2)e^{2x-x^2}$ $f'(x)=0$ $-2x+2=0$ $x=1$ $f'(x)>0$ $-2x+2>0$ $x<1$ $f'(x)<0$ $x>1$ $f(1)=e^{2-1}=e$ Funkcja ma maksimum lokalne $f_{max}=e$ dla $x=1$ Innych ekstremów funkcja nie ma

irena postów: 2636	2012-01-12 10:08:10 c) $f(x)=x^2\sqrt{1-x^2}$ $D_f=<-1;1>$ $f'(x)=2x\sqrt{1-x^2}+\frac{x^2\cdot(-2x)}{2\sqrt{1-x^2}}=\frac{-6x^3+4x}{2\sqrt{1-x^2}}$ $f'(x)=0$ $-6x^3+4x=0$ $-2x(3x^2-2)=0$ $x=0$ lub $x^2=\frac{2}{3}$ $x=-\frac{\sqrt{6}}{3}$ lub $x=0$ lub $x=\frac{\sqrt{6}}{3}$ $f'(x)>0$ $x\in(-1;-\frac{\sqrt{6}}{3})\cup(0;\frac{\sqrt{6}}{3})$ $f'(x)<0$ $x\in(-\frac{\sqrt{6}}{3};0)\cup(\frac{\sqrt{6}}{3};1)$ $f(-\frac{\sqrt{6}}{3})=f(\frac{\sqrt{6}}{3})=\frac{2}{3}\cdot\sqrt{1-\frac{2}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{9}$ $f(0)=0$ Funkcja ma minimum lokalne $f_{min}=0$ dla $x=0$ Funkcja ma 2 maksima lokalne równej wartości $f_{max}=\frac{2\sqrt{3}}{9}$ dla $x=-\frac{\sqrt{6}}{3}$ oraz dla $x=\frac{\sqrt{6}}{3}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj