logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 320

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

wiktorwektor
postów: 9
2012-01-11 22:37:20

Wyznacz ekstrema lokalne funkcji:

a) $f(x) = x^4+2x^3$
b) $f(x) = e^{2x-x^2}$
c) $f(x) = x^2 \sqrt{1-x^2}$


irena
postów: 2636
2012-01-12 09:41:41

a)
$f(x)=x^4+2x^3$

$D_f=R$

$\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}x^3(x+2)=\infty$

$f'(x)=4x^3+6x^2$

$f'(x)=0$
$2x^2(x+3)=0$
x=0 lub x=-1,5

$f'(x)>0$
$2x+3>0$ i $x\neq0$
$x\in(-1,5;0)\cup(0;\infty)$

$f'(x)<0$
$x\in(-\infty;-1,5)$

$f(0)=0$
$f(-1,5)=(-\frac{3}{2})^4+2\cdot(-\frac{3}{2})^3=\frac{81}{16}-2\cdot\frac{27}{8}=\frac{27}{16}$

Funkcja jest malejąca w przedziale $x\in(-\infty;-1,5>$
Funkcja jest rosnąca w przedziale $x\in<-1,5;\infty)$

Funkcja ma minimum lokalne (i globalne) $f_{min}=\frac{27}{16}$ dla $x=-1,5$

Funkcja nie ma maksimum lokalnego (globalnego też nie posiada).

Dla x=0 wykres funkcji ma punkt przegięcia


irena
postów: 2636
2012-01-12 09:56:32

b)
$f(x)=e^{2x-x^2}$

$D_f=R$

$f'(x)=(-2x+2)e^{2x-x^2}$

$f'(x)=0$
$-2x+2=0$
$x=1$

$f'(x)>0$
$-2x+2>0$
$x<1$

$f'(x)<0$
$x>1$

$f(1)=e^{2-1}=e$

Funkcja ma maksimum lokalne $f_{max}=e$ dla $x=1$

Innych ekstremów funkcja nie ma


irena
postów: 2636
2012-01-12 10:08:10

c)
$f(x)=x^2\sqrt{1-x^2}$

$D_f=<-1;1>$

$f'(x)=2x\sqrt{1-x^2}+\frac{x^2\cdot(-2x)}{2\sqrt{1-x^2}}=\frac{-6x^3+4x}{2\sqrt{1-x^2}}$

$f'(x)=0$
$-6x^3+4x=0$
$-2x(3x^2-2)=0$
$x=0$ lub $x^2=\frac{2}{3}$
$x=-\frac{\sqrt{6}}{3}$ lub $x=0$ lub $x=\frac{\sqrt{6}}{3}$

$f'(x)>0$
$x\in(-1;-\frac{\sqrt{6}}{3})\cup(0;\frac{\sqrt{6}}{3})$

$f'(x)<0$
$x\in(-\frac{\sqrt{6}}{3};0)\cup(\frac{\sqrt{6}}{3};1)$

$f(-\frac{\sqrt{6}}{3})=f(\frac{\sqrt{6}}{3})=\frac{2}{3}\cdot\sqrt{1-\frac{2}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{9}$
$f(0)=0$

Funkcja ma minimum lokalne $f_{min}=0$ dla $x=0$

Funkcja ma 2 maksima lokalne równej wartości $f_{max}=\frac{2\sqrt{3}}{9}$ dla $x=-\frac{\sqrt{6}}{3}$ oraz dla $x=\frac{\sqrt{6}}{3}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 33 drukuj