logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 3200

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

cinek777
postów: 1
2015-02-09 20:19:22

witam czy pomoze ktos rozwiazac takie zadanie i wytłumaczy co z czego sie bierze.

1.rozwiazac równanie rózniczkowe

y'-5y=10

y(0)=2



Aneta
postów: 1255
2015-02-13 22:59:49

jest to równanie liniowo jednorodne rzędu 1 ze stałymi współczynnikami.

Wykorzystamy metodę uzmiennienia stałej . W pierwszym etapie rozwiążemy równanie różniczkowe pierwszego rzędu liniowe jednorodne .

$y'-5y=0$

$y'=5y$

$\frac{dy}{dt}=5y$

$\frac{1}{y}dy=5dt$

$\int \frac{1}{y}=\int 5 dt$

$ln|y|=5t+C$

$ln|y|=5t+ln|C|$

$ln|y-ln|C|=5t$

$ln|\frac{5y}{C}|=t$

$\frac{y}{c}=e^{5t}$

$y=e^{5t}C$ Jest rozwiązaniem równania różniczkowego liniowego jednorodnego.

Uzmiennimy teraz stałą. $y=C(t)e^{5t}$
Różniczkujemy y względem zmiennej t zatem :
$y'=C'(t)e^{5t}+C(t)5e^{5t}$

podstawiamy do
$y'-5y=10$

$C'(t)e^{5t}+C(t)5e^{5t}-5C(t)e^{5t}=10$

$C'(t)e^{5t}=10$

$C'(t)=\frac{10}{e^{5t}}$

$\frac{dC(t)}{dt}=\frac{10}{e^{5t}}$

$dC(t)=\frac{10}{e^{5t}} dt$

$\int dC(t) = \int \frac{10}{e^{5t}} dt$

$C(t)=-2e^{-5t} $

Wstawimy teraz $C(t)=-2e^{-5t} $ do uzmiennionej stałej :

$y=-2e^{-5t} e^{5t}$ jest rozwiązaniem szczególnym równania I rzędu liniowego niejednorodnego.


Ostatecznym rozwiązaniem jest suma rozwiązania równania I rzędu liniowego jednorodnego oraz rozwiązania równania I rzędu niejednorodnego szczególnego.

$y=C(t)e^{5t}-2e^{-5t} e^{5t}=C(t)e^{5t}-2$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 34 drukuj