Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 3200
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| cinek777 postów: 1 |  2015-02-09 20:19:22witam czy pomoze ktos rozwiazac takie zadanie i wytłumaczy co z czego sie bierze. 1.rozwiazac równanie rózniczkowe y'-5y=10 y(0)=2 |
| abcdefgh postów: 1255 | 2015-02-13 22:59:49 jest to równanie liniowo jednorodne rzędu 1 ze stałymi współczynnikami. Wykorzystamy metodę uzmiennienia stałej . W pierwszym etapie rozwiążemy równanie różniczkowe pierwszego rzędu liniowe jednorodne . $y'-5y=0$ $y'=5y$ $\frac{dy}{dt}=5y$ $\frac{1}{y}dy=5dt$ $\int \frac{1}{y}=\int 5 dt$ $ln|y|=5t+C$ $ln|y|=5t+ln|C|$ $ln|y-ln|C|=5t$ $ln|\frac{5y}{C}|=t$ $\frac{y}{c}=e^{5t}$ $y=e^{5t}C$ Jest rozwiązaniem równania różniczkowego liniowego jednorodnego. Uzmiennimy teraz stałą. $y=C(t)e^{5t}$ Różniczkujemy y względem zmiennej t zatem : $y'=C'(t)e^{5t}+C(t)5e^{5t}$ podstawiamy do $y'-5y=10$ $C'(t)e^{5t}+C(t)5e^{5t}-5C(t)e^{5t}=10$ $C'(t)e^{5t}=10$ $C'(t)=\frac{10}{e^{5t}}$ $\frac{dC(t)}{dt}=\frac{10}{e^{5t}}$ $dC(t)=\frac{10}{e^{5t}} dt$ $\int dC(t) = \int \frac{10}{e^{5t}} dt$ $C(t)=-2e^{-5t} $ Wstawimy teraz $C(t)=-2e^{-5t} $ do uzmiennionej stałej : $y=-2e^{-5t} e^{5t}$ jest rozwiązaniem szczególnym równania I rzędu liniowego niejednorodnego. Ostatecznym rozwiązaniem jest suma rozwiązania równania I rzędu liniowego jednorodnego oraz rozwiązania równania I rzędu niejednorodnego szczególnego. $y=C(t)e^{5t}-2e^{-5t} e^{5t}=C(t)e^{5t}-2$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj