logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 322

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

wiktorwektor
postów: 9
2012-01-11 22:42:27

Wyznacz ekstrema lokalne funkcji:

g) $f(x) = (x-6)^2 \cdot \sqrt[3]{x^2}$
h) $f(x) = xe^{-3x}$
i) $f(x) = 4\arctan{x} - \ln{x}$

Za pomoc dziękuję :)


tumor
postów: 8070
2012-09-21 19:49:30

h)Policzmy pochodną
$f`(x)=e^{-3x}-3xe^{-3x}=(1-3x)e^{-3x}$

W $x_0=\frac{1}{3}$ pochodna wynosi $0$ zmienia znak, na lewo jest dodatnia, na prawo ujemna, czyli mamy w $x_0$ maksimum lokalne, $f(x_0)=\frac{1}{3e}$


tumor
postów: 8070
2012-09-21 20:45:46

g) $f(x)=x^{\frac{8}{3}}-12x^{\frac{5}{3}}+36x^{\frac{2}{3}}$

$f`(x)=\frac{8}{3}x^{\frac{5}{3}}-\frac{60}{3}x^{\frac{2}{3}}+\frac{72}{3}x^{\frac{-1}{3}}=\frac{4}{3}x^{\frac{-1}{3}}(2x^2-15x+18)=\frac{4}{3}x^{\frac{-1}{3}}(2x-3)(x-6)$

W przedziale $(-\infty,0))$ pochodna ujemna, $f$ maleje.
W przedziale $(0,\frac{3}{2})$ pochodna dodatnia, $f$ rośnie.
W przedziale $(\frac{3}{2},6)$ pochodna ujemna, $f$ maleje.
W przedziale $(6,\infty)$ pochodna dodatnia, $f$ rośnie.

W $x_0=\frac{3}{2}$ maksimum wynosi $(\frac{81}{4})(\frac{9}{4})^{\frac{1}{3}}$
W $x_1=6$ minimum wynosi $0$.
W $x_2=0$ funkcja nie jest wcale różniczkowalna, więc nam się pochodna nie zeruje. Ale funkcja przyjmuje tam wartość $0$, a w otoczeniu $x_2$ jest dodatnia, więc i tam minimum.




tumor
postów: 8070
2012-09-22 12:35:28

i) $f(x)=4\arctan x-\ln x
$
$f`(x)=\frac{4}{1+x^2}-\frac{1}{x}$
$\frac{4}{1+x^2}=\frac{1}{x}$

$4x=1+x^2$
$0=x^2-4x+1$
$0=(x-2-\sqrt3))(x-2+\sqrt3)$

$x_1=2-\sqrt3$
$x_2=2+\sqrt3$
W przedziale $(0,2-\sqrt3)$ pochodna ujemna, funkcja malejąca.
W przedziale $(2-\sqrt3, 2+\sqrt3)$ pochodna dodatnia, funkcja rosnąca.
W przedziale $(2+\sqrt3, \infty)$ pochodna ujemna, funkcja malejąca.

W $x=2-\sqrt3$ minimum lokalne wynosi $4\arctan(2-\sqrt3)-\ln (2-\sqrt3)=\frac{\pi}{3}-\ln (2-\sqrt3)$
W $x=2+\sqrt3$ maksimum lokalne wynosi $4\arctan(2+\sqrt3)-\ln (2+\sqrt3)=\frac{5\pi}{3}-\ln (2+\sqrt3)$



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 19 drukuj