Algebra, zadanie nr 3235
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
ka_pis post贸w: 11 |  2015-02-17 09:43:32Wykaza膰, 偶e grupy $<3><(R,+)$ oraz $<5><(R_+,\cdot)$ s膮 izomorficzne. |
tumor post贸w: 8070 | 2015-02-17 17:03:43 Pokaza膰 izomorfizm, nie? $f(3k)=5^k$ to homomorfizm (pokaza膰!), 偶e jest r贸偶nowarto艣ciowy wida膰, 偶e jest \'na\' te偶 wida膰. Mo偶na to oczywi艣cie sprawdza膰 te偶 przez obraz i j膮dro. --- (i jeszcze na wszelki wypadek dopytam. $<3><(R,+)$ oznacza grup臋 generowan膮 przez 3 i standardowe dzia艂anie dodawania, podgrup臋 R z dodawaniem?) |
ka_pis post贸w: 11 | 2015-02-17 17:14:14 Tak :) A czy mo偶na to jako艣 pokaza膰 z twierdzenia, 偶e dwie grupy sko艅czone, cykliczne (generowane przez jeden element) s膮 izomorficzne? Bo takie twierdzenie znam i intuicyjnie wydaje mi si臋, 偶e mo偶na tutaj z niego skorzysta膰 tylko nie mam pojecia jak to udowodni膰. |
tumor post贸w: 8070 | 2015-02-17 17:32:23 Te nie s膮 sko艅czone. Natomiast rzeczywi艣cie, dowolne dwie grupy cykliczne przeliczalne niesko艅czone s膮 izomorficzne, takiego twierdzenia si臋 dowodzi. W takim razie, je艣li to twierdzenie ju偶 masz, to po problemie. Na mocy twierdzenia, skoro obie grupy s膮 cykliczne, obie przeliczalne niesko艅czone, to musz膮 by膰 izomorficzne i koniec. Nie ma nic do dodania. Z kolei dow贸d samego twierdzenia mo偶na zrobi膰 tak: Niech $(G,\cdot)=<g>$. $G$ jest izomorficzna z $(Z,+)$, bo jest izomorfizmem funkcja $f(g^n)=n$ (co si臋 pokazuje w trzech krokach). Skoro G przeliczalna niesko艅czona jest izomorficzna z $(Z,+)$, to dowolne dwie przeliczalne niesko艅czone grupy cykliczne s膮 izomorficzne z $(Z,+)$, zatem i ze sob膮 wzajemnie. |
ka_pis post贸w: 11 | 2015-02-17 17:48:11 Dlaczego bior臋 $f(3k)=5^k$? |
tumor post贸w: 8070 | 2015-02-17 18:00:06 Bo to jest naturalny izomorfizm mi臋dzy tymi grupami. :) Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2015-02-17 18:11:19 przez tumor |
ka_pis post贸w: 11 | 2015-02-17 18:04:07 Nie rozumiem :( |
tumor post贸w: 8070 | 2015-02-17 18:12:55 Jedna z tych grup to $(...,-9,-6,-3,0,3,6,9,...)$ z dodawaniem i elementem neutralnym $0$, druga to $(...,5^{-2},5^{-1},1,5,5^2,...)$ z mno偶eniem i elementem neutralnym $1$. Izomorfizm jest po pierwsze homomorfizmem. Czyli $f(a+b)=f(a)*f(b)$ (pierwsze dzia艂anie z pierwszej grupy, drugie dzia艂anie z drugiej grupy). Tu b臋dzie spe艂nione $f(3k+3l)=f(3(k+l))=5^{k+l}=5^k*5^l=f(3k)*f(3l)$. Izomorfizm to homomorfizm r贸偶nowarto艣ciowy i suriektywny. Funkcja $h(3k)=1$ jest homomorfizmem, ale ani r贸偶nowarto艣ciowym, ani \"na\". Funkcja $i(3k)=5^{2k}$ jest homomorfizmem r贸偶nowarto艣ciowym, ale nie jest suriekcj膮. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2015-02-17 18:13:48 przez tumor |
ka_pis post贸w: 11 | 2015-02-17 18:28:22 Czyli z tego wynika, 偶e izomorfizm nie zachodzi skoro nie ma ani iniekcji ani suriekcji? |
tumor post贸w: 8070 | 2015-02-17 19:00:21 Je艣li nie ma, to nie zachodzi. Je艣li natomiast mo偶na poda膰 homomorfizm, kt贸ry jest iniektywny i suriektywny (czyli w terminach algebry, jest monomorfizmem i epimorfizmem), to izomorfizm jest. :) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj