Algebra, zadanie nr 3235

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
ka_pis postów: 11	2015-02-17 09:43:32 Wykazać, że grupy $<3><(R,+)$ oraz $<5><(R_+,\cdot)$ są izomorficzne.

tumor postów: 8070	2015-02-17 17:03:43 Pokazać izomorfizm, nie? $f(3k)=5^k$ to homomorfizm (pokazać!), że jest różnowartościowy widać, że jest 'na' też widać. Można to oczywiście sprawdzać też przez obraz i jądro. --- (i jeszcze na wszelki wypadek dopytam. $<3><(R,+)$ oznacza grupę generowaną przez 3 i standardowe działanie dodawania, podgrupę R z dodawaniem?)

ka_pis postów: 11	2015-02-17 17:14:14 Tak :) A czy można to jakoś pokazać z twierdzenia, że dwie grupy skończone, cykliczne (generowane przez jeden element) są izomorficzne? Bo takie twierdzenie znam i intuicyjnie wydaje mi się, że można tutaj z niego skorzystać tylko nie mam pojecia jak to udowodnić.

tumor postów: 8070	2015-02-17 17:32:23 Te nie są skończone. Natomiast rzeczywiście, dowolne dwie grupy cykliczne przeliczalne nieskończone są izomorficzne, takiego twierdzenia się dowodzi. W takim razie, jeśli to twierdzenie już masz, to po problemie. Na mocy twierdzenia, skoro obie grupy są cykliczne, obie przeliczalne nieskończone, to muszą być izomorficzne i koniec. Nie ma nic do dodania. Z kolei dowód samego twierdzenia można zrobić tak: Niech $(G,\cdot)=<g>$. $G$ jest izomorficzna z $(Z,+)$, bo jest izomorfizmem funkcja $f(g^n)=n$ (co się pokazuje w trzech krokach). Skoro G przeliczalna nieskończona jest izomorficzna z $(Z,+)$, to dowolne dwie przeliczalne nieskończone grupy cykliczne są izomorficzne z $(Z,+)$, zatem i ze sobą wzajemnie.

ka_pis postów: 11	2015-02-17 17:48:11 Dlaczego biorę $f(3k)=5^k$?

tumor postów: 8070	2015-02-17 18:00:06 Bo to jest naturalny izomorfizm między tymi grupami. :) Wiadomość była modyfikowana 2015-02-17 18:11:19 przez tumor

ka_pis postów: 11	2015-02-17 18:04:07 Nie rozumiem :(

tumor postów: 8070	2015-02-17 18:12:55 Jedna z tych grup to $(...,-9,-6,-3,0,3,6,9,...)$ z dodawaniem i elementem neutralnym $0$, druga to $(...,5^{-2},5^{-1},1,5,5^2,...)$ z mnożeniem i elementem neutralnym $1$. Izomorfizm jest po pierwsze homomorfizmem. Czyli $f(a+b)=f(a)f(b)$ (pierwsze działanie z pierwszej grupy, drugie działanie z drugiej grupy). Tu będzie spełnione $f(3k+3l)=f(3(k+l))=5^{k+l}=5^k5^l=f(3k)*f(3l)$. Izomorfizm to homomorfizm różnowartościowy i suriektywny. Funkcja $h(3k)=1$ jest homomorfizmem, ale ani różnowartościowym, ani "na". Funkcja $i(3k)=5^{2k}$ jest homomorfizmem różnowartościowym, ale nie jest suriekcją. Wiadomość była modyfikowana 2015-02-17 18:13:48 przez tumor

ka_pis postów: 11	2015-02-17 18:28:22 Czyli z tego wynika, że izomorfizm nie zachodzi skoro nie ma ani iniekcji ani suriekcji?

tumor postów: 8070	2015-02-17 19:00:21 Jeśli nie ma, to nie zachodzi. Jeśli natomiast można podać homomorfizm, który jest iniektywny i suriektywny (czyli w terminach algebry, jest monomorfizmem i epimorfizmem), to izomorfizm jest. :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj