logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 3235

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

ka_pis
postów: 11
2015-02-17 09:43:32

Wykazać, że grupy $<3><(R,+)$ oraz $<5><(R_+,\cdot)$ są izomorficzne.


tumor
postów: 8070
2015-02-17 17:03:43

Pokazać izomorfizm, nie?

$f(3k)=5^k$ to homomorfizm (pokazać!),
że jest różnowartościowy widać, że jest 'na' też widać. Można to oczywiście sprawdzać też przez obraz i jądro.

---

(i jeszcze na wszelki wypadek dopytam.
$<3><(R,+)$
oznacza grupę generowaną przez 3 i standardowe działanie dodawania, podgrupę R z dodawaniem?)


ka_pis
postów: 11
2015-02-17 17:14:14

Tak :)
A czy można to jakoś pokazać z twierdzenia, że dwie grupy skończone, cykliczne (generowane przez jeden element) są izomorficzne?

Bo takie twierdzenie znam i intuicyjnie wydaje mi się, że można tutaj z niego skorzystać tylko nie mam pojecia jak to udowodnić.


tumor
postów: 8070
2015-02-17 17:32:23

Te nie są skończone. Natomiast rzeczywiście, dowolne dwie grupy cykliczne przeliczalne nieskończone są izomorficzne, takiego twierdzenia się dowodzi. W takim razie, jeśli to twierdzenie już masz, to po problemie. Na mocy twierdzenia, skoro obie grupy są cykliczne, obie przeliczalne nieskończone, to muszą być izomorficzne i koniec. Nie ma nic do dodania.

Z kolei dowód samego twierdzenia można zrobić tak: Niech $(G,\cdot)=<g>$. $G$ jest izomorficzna z $(Z,+)$, bo jest izomorfizmem funkcja
$f(g^n)=n$ (co się pokazuje w trzech krokach). Skoro G przeliczalna nieskończona jest izomorficzna z $(Z,+)$, to dowolne dwie przeliczalne nieskończone grupy cykliczne są izomorficzne z $(Z,+)$, zatem i ze sobą wzajemnie.


ka_pis
postów: 11
2015-02-17 17:48:11

Dlaczego biorę $f(3k)=5^k$?


tumor
postów: 8070
2015-02-17 18:00:06

Bo to jest naturalny izomorfizm między tymi grupami. :)

Wiadomość była modyfikowana 2015-02-17 18:11:19 przez tumor

ka_pis
postów: 11
2015-02-17 18:04:07

Nie rozumiem :(


tumor
postów: 8070
2015-02-17 18:12:55

Jedna z tych grup to $(...,-9,-6,-3,0,3,6,9,...)$ z dodawaniem i elementem neutralnym $0$, druga to $(...,5^{-2},5^{-1},1,5,5^2,...)$ z mnożeniem i elementem neutralnym $1$.

Izomorfizm jest po pierwsze homomorfizmem.
Czyli $f(a+b)=f(a)*f(b)$ (pierwsze działanie z pierwszej grupy, drugie działanie z drugiej grupy).
Tu będzie spełnione $f(3k+3l)=f(3(k+l))=5^{k+l}=5^k*5^l=f(3k)*f(3l)$.
Izomorfizm to homomorfizm różnowartościowy i suriektywny.
Funkcja $h(3k)=1$ jest homomorfizmem, ale ani różnowartościowym, ani "na". Funkcja $i(3k)=5^{2k}$ jest homomorfizmem różnowartościowym, ale nie jest suriekcją.


Wiadomość była modyfikowana 2015-02-17 18:13:48 przez tumor

ka_pis
postów: 11
2015-02-17 18:28:22

Czyli z tego wynika, że izomorfizm nie zachodzi skoro nie ma ani iniekcji ani suriekcji?


tumor
postów: 8070
2015-02-17 19:00:21

Jeśli nie ma, to nie zachodzi.
Jeśli natomiast można podać homomorfizm, który jest iniektywny i suriektywny (czyli w terminach algebry, jest monomorfizmem i epimorfizmem), to izomorfizm jest. :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 27 drukuj