logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Inne, zadanie nr 324

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

majkowa
postów: 1
2012-01-13 14:24:19

pochodne :)
Treść zadania: Oblicz f'(x) i f"(x) dla następujących funkcji. Rozwiązać równania f'(x)=0, f"(x)=0 oraz nierówności f'(x)>0 i f"(x)=0;
potrzebuje mieć rozwiązane 3 przykłady, których zadanie będzie się opierało na poniższych podpunktach:

1) wyznaczenie dziedziny

2) asymptoty i granicę

3) sprawdzanie jak się zachowuje funkcja w -(nieskończoność)

4) monotoniczność i eksterium funkcji zmiennej (liczymy pierwszą pochodną i ją badamy)

5) badamy i liczymy f"(x)=(f'(x))' pochodną z pierwszej pochodnej

A)$f(x)=x^4-2x^2$
B)$f(x)=\frac{x^2}{3-x}$
C)$f(x)=x^3-x^2$
D) $f(x)=xex^{2}x^{2}-x$
E)$f(x)=\frac{e^x}{x}$
f)$f(x)=\frac{x^2+1}{x^2}$
G$)f(x)=x^{2}lnx$
H)$f(x)=\sqrt{4-x^2}$
Z góry dziekuje :)

Wiadomość była modyfikowana 2012-01-13 14:50:33 przez Szymon

tumor
postów: 8070
2012-10-02 08:50:41

A)$f(x)=x^4-2x^2$
Dziedziną jest $R$
$f`(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)$
$f`(x)=0$ w
$x_1=-1$
$x_2=0$
$x_3=1$
Pochodna jest dodatnia (czyli $f$ jest rosnąca) w przedziałach
$(-1,0)$
$(1,\infty)$
Pochodna jest ujemna (czyli $f$ jest malejąca) w przedziałach
$(-\infty,-1)$
$(0,1)$
W $x_1$ minimum równe $-2$
w $x_2$ maksimum równe $0$
w $x_3$ minimum równe $-2$

Brak asymptot pionowych.
Liczymy $\lim_{x \to \pm \infty}(x^4-2x^2)=\lim_{x \to \pm \infty}x^4(1-\frac{2}{x^2})=\infty$

$\lim_{x \to \pm \infty}\frac{x^4-2x^2}{x}=\lim_{x \to \pm \infty}x^3(1-\frac{2}{x^2})=\pm \infty$
Brak asymptot ukośnych.

$f``(x)=12x^2-4$
$f``(x)=0$ dla
$x_4=\frac{-\sqrt{3}}{3}$
$x_5=\frac{\sqrt{3}}{3}$
W przedziale $(-\infty,x_4)$ mamy $f``(x)>0$, czyli $f(x)$ wypukła.
W przedziale $(x_4,x_5)$ mamy $f``(x)<0$, czyli $f(x)$ wklęsła.
W przedziale ($x_5,\infty)$ mamy $f``(x)>0$, czyli $f(x)$ wypukła.
$x_4,x_5$ są punktami przegięcia.






tumor
postów: 8070
2012-10-02 08:51:03

B)$f(x)=\frac{x^2}{3-x}$
Dziedzina $R\backslash \{3\}$

$\lim_{(x \to 3^-)}f(x)=[\frac{9}{0^+}]=\infty$
$\lim_{(x \to 3^+)}f(x)=[\frac{9}{0^-}]=-\infty$
Asymptota pionowa $x=3$.

$\lim_{(x \to -\infty)}f(x)=\lim_{(x \to -\infty)}\frac{x*x}{x(\frac{3}{x}-1)}=\infty$
$\lim_{(x \to \infty)}f(x)=\lim_{(x \to \infty)}\frac{x*x}{x(\frac{3}{x}-1)}=-\infty$

$\lim_{(x \to \pm\infty)}\frac{f(x)}{x}=\lim_{(x \to \pm\infty)}\frac{-x^2}{x^2-3x}=-1$

$\lim_{(x \to -\infty)}(f(x)-(-1x))=\lim_{(x \to -\infty)}(\frac{x^2}{3-x}+\frac{3x-x^2}{3-x})=\lim_{(x \to -\infty)}(\frac{3x}{3-x})=-3$
$\lim_{(x \to \infty)}(f(x)-(-1x))=-3$
Obustronna asymptota ukośna $y=-x-3$

$f`(x)=\frac{2x(3-x)+x^2}{(3-x)^2}=\frac{6x-x^2}{(3-x)^2}$
$f`(x)=0$
w
$x_1=0$
$x_2=6$
W $(-\infty,0)$ pochodna ujemna, zatem $f(x)$ malejąca.
W $(0,3)$ pochodna dodatnia, zatem $f(x)$ rosnąca.
W $(3,6)$ pochodna dodatnia, zatem $f(x)$ rosnąca.
W $(6,\infty)$ pochodna ujemna, zatem $f(x)$ malejąca.

W $x_1$ minimum lokalne równe $0$.
W $x_2$ maksimum lokalne równe $-12$.

$f``(x)=\frac{(-2x+6)(3-x)^2-2(3-x)(-1)(6x-x^2)}{(3-x)^4}=
\frac{(-2x+6)(3-x)+2(6x-x^2)}{(3-x)^3}=
\frac{18}{(3-x)^3}$
$f``(x)$ w przedziale $(-\infty,3)$ dodatnia, czyli $f(x)$ wypukła.
$f``(x)$ w przedziale $(3,\infty)$ ujemna, czyli $f(x)$ wklęsła.
Brak punktów przegięcia.


tumor
postów: 8070
2012-10-02 09:25:32

C)$f(x)=x^3-x^2$

Dziedzina $R$
$f`(x)=3x^2-2x=x(3x-2)$
$f``(x)=6x-2=2(3x-1)$

$f`(x)=0$ w
$x_1=0$
$x_2=\frac{2}{3}$
w $(-\infty,0)$ pochodna dodatnia, $f(x)$ rosnąca
w $(0,\frac{2}{3})$ pochodna ujemna, $f(x)$ malejąca
w $(\frac{2}{3},\infty)$ pochodna dodatnia, $f(x)$ rosnąca
w $x_1$ maksimum równe $0$
w $x_2$ minimum równe $\frac{-4}{27}$

$f``(x)=0$ w
$x_3=\frac{1}{3}$
w $(-\infty,\frac{1}{3})$ druga pochodna ujemna, $f(x)$ wklęsła
w $(\frac{1}{3},\infty)$ druga pochodna dodatnia, $f(x)$ wypukła
w $x_3$ punkt przegięcia

Brak asymptot pionowych.
$\lim_{x \to \pm\infty}f(x)=\pm\infty$

$\lim_{x \to \pm\infty}\frac{f(x)}{x}=\infty$
Brak asymptot ukośnych.






tumor
postów: 8070
2012-10-02 09:25:47

F) $f(x)=\frac{x^2+1}{x^2}$

Dziedzina $R\backslash\{0\}$

$f`(x)=\frac{2x^3-2x^3-2x}{x^4}=\frac{-2}{x^3}\neq 0$
$f``(x)=6x^{-4}>0$

W przedziale $(-\infty,0)$ obie pochodne dodatnie, $f(x)$ rosnąca i wypukła.
W przedziale $(0,\infty)$ pierwsza pochodna ujemna, druga dodatnia, czyli $ f(x)$ malejąca i wypukła.

$\lim_{x \to 0}f(x)=[\frac{1}{0^+}]=\infty$
$\lim_{x \to \pm\infty}f(x)=1$
$\lim_{x \to \pm\infty}\frac{f(x)}{x}=0$

Asymptota pionowa $x=0$, asymptota ukośna (pozioma) $y=1$.

Brak ekstremów lokalnych, brak punktów przegięcia.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 50 drukuj