Inne, zadanie nr 324
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
majkowa post贸w: 1 |  2012-01-13 14:24:19pochodne :) Tre艣膰 zadania: Oblicz f\'(x) i f\"(x) dla nast臋puj膮cych funkcji. Rozwi膮za膰 r贸wnania f\'(x)=0, f\"(x)=0 oraz nier贸wno艣ci f\'(x)>0 i f\"(x)=0; potrzebuje mie膰 rozwi膮zane 3 przyk艂ady, kt贸rych zadanie b臋dzie si臋 opiera艂o na poni偶szych podpunktach: 1) wyznaczenie dziedziny 2) asymptoty i granic臋 3) sprawdzanie jak si臋 zachowuje funkcja w -(niesko艅czono艣膰) 4) monotoniczno艣膰 i eksterium funkcji zmiennej (liczymy pierwsz膮 pochodn膮 i j膮 badamy) 5) badamy i liczymy f\"(x)=(f\'(x))\' pochodn膮 z pierwszej pochodnej A)$f(x)=x^4-2x^2$ B)$f(x)=\frac{x^2}{3-x}$ C)$f(x)=x^3-x^2$ D) $f(x)=xex^{2}x^{2}-x$ E)$f(x)=\frac{e^x}{x}$ f)$f(x)=\frac{x^2+1}{x^2}$ G$)f(x)=x^{2}lnx$ H)$f(x)=\sqrt{4-x^2}$ Z g贸ry dziekuje :)  Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2012-01-13 14:50:33 przez Szymon |
tumor post贸w: 8070 | 2012-10-02 08:50:41 A)$f(x)=x^4-2x^2$ Dziedzin膮 jest $R$ $f`(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)$ $f`(x)=0$ w $x_1=-1$ $x_2=0$ $x_3=1$ Pochodna jest dodatnia (czyli $f$ jest rosn膮ca) w przedzia艂ach $(-1,0)$ $(1,\infty)$ Pochodna jest ujemna (czyli $f$ jest malej膮ca) w przedzia艂ach $(-\infty,-1)$ $(0,1)$ W $x_1$ minimum r贸wne $-2$ w $x_2$ maksimum r贸wne $0$ w $x_3$ minimum r贸wne $-2$ Brak asymptot pionowych. Liczymy $\lim_{x \to \pm \infty}(x^4-2x^2)=\lim_{x \to \pm \infty}x^4(1-\frac{2}{x^2})=\infty$ $\lim_{x \to \pm \infty}\frac{x^4-2x^2}{x}=\lim_{x \to \pm \infty}x^3(1-\frac{2}{x^2})=\pm \infty$ Brak asymptot uko艣nych. $f``(x)=12x^2-4$ $f``(x)=0$ dla $x_4=\frac{-\sqrt{3}}{3}$ $x_5=\frac{\sqrt{3}}{3}$ W przedziale $(-\infty,x_4)$ mamy $f``(x)>0$, czyli $f(x)$ wypuk艂a. W przedziale $(x_4,x_5)$ mamy $f``(x)<0$, czyli $f(x)$ wkl臋s艂a. W przedziale ($x_5,\infty)$ mamy $f``(x)>0$, czyli $f(x)$ wypuk艂a. $x_4,x_5$ s膮 punktami przegi臋cia. |
tumor post贸w: 8070 | 2012-10-02 08:51:03 B)$f(x)=\frac{x^2}{3-x}$ Dziedzina $R\backslash \{3\}$ $\lim_{(x \to 3^-)}f(x)=[\frac{9}{0^+}]=\infty$ $\lim_{(x \to 3^+)}f(x)=[\frac{9}{0^-}]=-\infty$ Asymptota pionowa $x=3$. $\lim_{(x \to -\infty)}f(x)=\lim_{(x \to -\infty)}\frac{x*x}{x(\frac{3}{x}-1)}=\infty$ $\lim_{(x \to \infty)}f(x)=\lim_{(x \to \infty)}\frac{x*x}{x(\frac{3}{x}-1)}=-\infty$ $\lim_{(x \to \pm\infty)}\frac{f(x)}{x}=\lim_{(x \to \pm\infty)}\frac{-x^2}{x^2-3x}=-1$ $\lim_{(x \to -\infty)}(f(x)-(-1x))=\lim_{(x \to -\infty)}(\frac{x^2}{3-x}+\frac{3x-x^2}{3-x})=\lim_{(x \to -\infty)}(\frac{3x}{3-x})=-3$ $\lim_{(x \to \infty)}(f(x)-(-1x))=-3$ Obustronna asymptota uko艣na $y=-x-3$ $f`(x)=\frac{2x(3-x)+x^2}{(3-x)^2}=\frac{6x-x^2}{(3-x)^2}$ $f`(x)=0$ w $x_1=0$ $x_2=6$ W $(-\infty,0)$ pochodna ujemna, zatem $f(x)$ malej膮ca. W $(0,3)$ pochodna dodatnia, zatem $f(x)$ rosn膮ca. W $(3,6)$ pochodna dodatnia, zatem $f(x)$ rosn膮ca. W $(6,\infty)$ pochodna ujemna, zatem $f(x)$ malej膮ca. W $x_1$ minimum lokalne r贸wne $0$. W $x_2$ maksimum lokalne r贸wne $-12$. $f``(x)=\frac{(-2x+6)(3-x)^2-2(3-x)(-1)(6x-x^2)}{(3-x)^4}= \frac{(-2x+6)(3-x)+2(6x-x^2)}{(3-x)^3}= \frac{18}{(3-x)^3}$ $f``(x)$ w przedziale $(-\infty,3)$ dodatnia, czyli $f(x)$ wypuk艂a. $f``(x)$ w przedziale $(3,\infty)$ ujemna, czyli $f(x)$ wkl臋s艂a. Brak punkt贸w przegi臋cia. |
tumor post贸w: 8070 | 2012-10-02 09:25:32 C)$f(x)=x^3-x^2$ Dziedzina $R$ $f`(x)=3x^2-2x=x(3x-2)$ $f``(x)=6x-2=2(3x-1)$ $f`(x)=0$ w $x_1=0$ $x_2=\frac{2}{3}$ w $(-\infty,0)$ pochodna dodatnia, $f(x)$ rosn膮ca w $(0,\frac{2}{3})$ pochodna ujemna, $f(x)$ malej膮ca w $(\frac{2}{3},\infty)$ pochodna dodatnia, $f(x)$ rosn膮ca w $x_1$ maksimum r贸wne $0$ w $x_2$ minimum r贸wne $\frac{-4}{27}$ $f``(x)=0$ w $x_3=\frac{1}{3}$ w $(-\infty,\frac{1}{3})$ druga pochodna ujemna, $f(x)$ wkl臋s艂a w $(\frac{1}{3},\infty)$ druga pochodna dodatnia, $f(x)$ wypuk艂a w $x_3$ punkt przegi臋cia Brak asymptot pionowych. $\lim_{x \to \pm\infty}f(x)=\pm\infty$ $\lim_{x \to \pm\infty}\frac{f(x)}{x}=\infty$ Brak asymptot uko艣nych. |
tumor post贸w: 8070 | 2012-10-02 09:25:47 F) $f(x)=\frac{x^2+1}{x^2}$ Dziedzina $R\backslash\{0\}$ $f`(x)=\frac{2x^3-2x^3-2x}{x^4}=\frac{-2}{x^3}\neq 0$ $f``(x)=6x^{-4}>0$ W przedziale $(-\infty,0)$ obie pochodne dodatnie, $f(x)$ rosn膮ca i wypuk艂a. W przedziale $(0,\infty)$ pierwsza pochodna ujemna, druga dodatnia, czyli $ f(x)$ malej膮ca i wypuk艂a. $\lim_{x \to 0}f(x)=[\frac{1}{0^+}]=\infty$ $\lim_{x \to \pm\infty}f(x)=1$ $\lim_{x \to \pm\infty}\frac{f(x)}{x}=0$ Asymptota pionowa $x=0$, asymptota uko艣na (pozioma) $y=1$. Brak ekstrem贸w lokalnych, brak punkt贸w przegi臋cia. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj