Analiza matematyczna, zadanie nr 3305

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
stokrotka postów: 12	2015-03-13 07:46:57 Oblicz granicę funkcji: $lim_{x\rightarrow0^{+}}$$(sin2x)^{x^{2}}$ Przedstawię niżej mój tok myślenia: sin2x $\rightarrow$1, $x^{2}\rightarrow$0 czyli granica tej funkcji $1^{0}$ czyli 1?

kebab postów: 106	2015-03-13 11:07:29 Dobry wynik, ale błędne rozumowanie :) Jest to wyrażenie nieoznaczone $0^0$ przekształcamy: $(\sin 2x)^{x^2}=e^{\ln (\sin 2x)^{x^2}}$ i liczymy granicę wykładnika: $\lim_{x \to 0^+}\ln (\sin 2x)^{x^2}=\lim_{x \to 0^+}x^2\ln (\sin 2x)=\lim_{x \to 0^+}\frac{\ln (\sin 2x)}{x^{-2}}$ otrzymujemy wyrażenie nieoznaczone typu $\frac{\infty}{\infty}$, więc możemy skorzystać z reguły de l'Hospitala: $\lim_{x \to 0^+}\frac{\ln (\sin 2x)}{x^{-2}}=\lim_{x \to 0^+}\frac{2\cos 2x \frac{1}{\sin 2x}}{-2x^{-3}}=\lim_{x \to 0^+}\frac{-x^3\cos 2x}{\sin 2x}=$ $=\lim_{x \to 0^+}\frac{-x^3\cos 2x}{2 \sin x \cos x}=\lim_{x \to 0^+}\frac{x}{\sin x}\cdot \frac{-x^2\cos 2x}{2\cos x}=1\cdot 0=0$ czyli ostatecznie: $\lim_{x \to 0^+}(\sin 2x)^{x^2}=e^0=1$

stokrotka postów: 12	2015-03-13 11:15:17 Czyli zadanie mam niezaliczone na kolokwium.. dziękuję za odpowiedź, bynajmniej teraz wiem co i jak :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj