Logika, zadanie nr 3338

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
geometria postów: 865	2015-03-17 19:58:02 Dane sa trzy rozne liczby rzeczywiste x, y, z. Wiadomo, ze (A) Jesli x jest wieksza od y, to z jest wieksza od x. oraz (B) Jesli z jest wieksza od x, to y jest wieksza od z. Czy stad wynika, ze: (i) x jest mniejsza od y? (ii) z jest mniejsza od x? (odpowiedzi uzasadnic) Warunek (A): x>y$\Rightarrow$z>x Warunek (B): z>x$\Rightarrow$y>z Moje rozumowanie jest takie: Z warunku (A) mam: y<x<z, czyli dodatkowo wiem, ze y<z. Z warunku (B) mam: x<z<y, czyli dodatkowo wiem, ze x<y. (i) Dowod nie wprost Przypuscmy, ze istnieja takie rozne liczby rzeczywiste x, y, z, ze zachodzi warunek (A) i (B) zas warunek (i) nie zachodzi tzn. x>y. Skoro x>y, to na mocy (A) z>x. Skoro z>x, to na mocy (B) y>z oraz rowniez na mocy (B) mam x<y. Sprzecznosc (bo zalozylismy, ze x>y). Ostatecznie: Wynika, ze x<y. (ii) Nie wynika, ze z<x, bo istnieja takie rozne liczby rzeczywiste x, y, z, ze zachodzi warunek (A) i (B) zas warunek (ii) nie zachodzi. Np. dla x=1, y=3, z=2. Wtedy (A): 1>3$\Rightarrow$2>1 (0$\Rightarrow$1)=1 prawda (B): 2>1$\Rightarrow$3>2 (1$\Rightarrow$1)=1 prawda (ii): 2<1 nieprawda zalozenia spelnione, teza nie. Czy moje rozumowanie jest prawidlowe czy wymaga poprawy?

t1o2m3e4k5 postów: 2	2015-03-18 20:04:55 Wg mnie część (ii) jest dobrze, natomiast część (i) jest źle, tzn można dobrać liczby x,y,z dla których warunki (A) i (B) są prawdziwe, a warunek (i) nie zachodzi. Przykład x=y=z=0.

t1o2m3e4k5 postów: 2	2015-03-18 20:21:23 Nie doczytałem, że mają być różne. Wg mnie (i) też jest OK.

geometria postów: 865	2015-03-18 21:42:08 Glownie chodzi mi o ten fragment: Moje rozumowanie jest takie: Z warunku (A) mam: y<x<z, czyli dodatkowo wiem, ze y<z. Z warunku (B) mam: x<z<y, czyli dodatkowo wiem, ze x<y. Czy moge tak wnioskowac z warunkow?

tumor postów: 8070	2015-03-19 05:38:26 Możesz. Ciągle w zadaniach korzystamy z dostępnej wiedzy. Rachunek zdań czy kwantyfikatorów daje odpowiedzi czasem, gdy nie znamy znaczenia używanych pojęć. Ale jeśli znamy pewne zależności między pojęciami, to jest łatwiej. Na przykład w zadaniu o trójkątach korzystamy z wiedzy, że trójkąt nie jest jednocześnie rozwartokątny i ostrokątny etc. W tym zadaniu możesz, raczej, skorzystać z tego, co o relacji mniejszości wiesz. Natomiast można zauważyć, że skoro (A) Jesli x jest wieksza od y, to z jest wieksza od x. oraz (B) Jesli z jest wieksza od x, to y jest wieksza od z. to jeśli x>y, to z>x, ale gdy z>x, to y>z. Zatem zdania te razem mówią $x>y \Rightarrow z>x \Rightarrow y>z$, jeśli jednak pierwszy z tych warunków jest spełniony, to x>y>z>x. :) Zatem ten warunek nigdy nie jest spełniony, gdy spełnione są A i B. Stąd x<y siłą rzeczy. Czyli to właśnie, że x<y, ze zdań A i B wynika.

geometria postów: 865	2015-03-21 12:27:06 Dziekuje

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj