Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 3343
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| braciaratujcie postów: 13 |  2015-03-19 18:15:25Jak pokazać, że jeśli funkcja jest różniczkowalna i jej pochodna jest ograniczona to funkcja ta jest lipschitzowska? I jak znaleźć maksymalną stałą w nierówności: $|f(x)-f(y)| \le c \cdot |x-y|$ |
| braciaratujcie postów: 13 | 2015-03-19 18:50:28 PS: Nie miałem jeszcze twierdzenia Lagrange'a. Jak obejść się bez niego? ;p |
| braciaratujcie postów: 13 | 2015-03-19 19:19:47 Sory za zamieszanie - jednak może być i z Lagrange :) |
| braciaratujcie postów: 13 | 2015-03-19 22:20:13 Proszę o rzut okiem na dowód i jakieś sugestie (co źle, a może jest OK?)... ;) W zadaniu mam rozważyć funkcję $f : R \rightarrow R$. Skorzystam z tego, że: Skoro $f$ jest różniczkowalna to $f$ jest ciągła. $f'$ jest ograniczona. No i oczywiście ze wspomnianego przez Was tw. Lagrange'a. Dla dowolnych $x, y \in R$ takich, że $x < y$ mamy: $|f(x) - f(y)| = |f'(u) \cdot (x-y)| \le |sup\{|f'(v)| : v \in (x,y)\} \cdot (x - y)|$ Definiując stałą c jako $sup\{|f'(v)| : v \in (x,y)\}$ mamy: $|f(x) - f(y)| \le |c \cdot (x - y)| = c \cdot |x - y|$ Dla dowolnych $x, y \in R; (x < y)$, czyli na mocy tw. Lagrange'a owa funkcja jest Lipschitzowska. Ponadto, największe c w nierówności: $|f(x) - f(y) \le c \cdot |x - y|$ wynosi $max(c) \ge sup\{|f'(v)| : v \in R\}$ Dobrze? ;) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj