Algebra, zadanie nr 3442
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| maths44 postów: 2 |  2015-05-24 07:40:40Oblicz calke $\int\int ydS$ po powierzchni S, gdzie S jest częścią powierzchni $ x^{2}+z^{2}=2y $ dla $ x^{2}+z^{2}\ge y^{2} $ jak to sparametryzowac? |
| janusz78 postów: 820 | 2015-05-24 14:08:33 $ S $ jest częścią powierzchni paraboloidy kołowej ograniczonej powierzchnią stożka. Z układu $ x^{2} +z^{2}=2y, x^2 +z^{2}\geq y^{2},$ otrzymujemy ograniczenie $ 2y\geq y^2, y^2-2y \leq 0, 0\leq y \leq 2.$ Niech $ f(x,z) =\frac{1}{2}(x^{2}+z^{2}).$ Element płata powierzchni $ dS= \sqrt{1+f^{2}_{|x}(x,z)+f^{2}_{|z}}dxdz= \sqrt{1+x^{2}+z^{2}}dxdz.$ Wprowadzając współrzędne biegunowe: $ x=r\cos(\phi), z=r\sin(\phi)$ $\int_{(S)}\int ydS = \int_{(S)}\int \frac{1}{2}(x^{2}+z^{2})\sqrt{1+x^{2}+z^{2}}dxdy = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r^3\sqrt{1+r^{2}}drd\phi.$ Całkę wewnętrzną obliczamy metodą podstawień: $\sqrt{1+r^2} = t, r^2= t^2-1, 2rdr=2tdt, rdr=tdt.$ $ \int_{0}^{2}r^3\sqrt{1+r^2}dr= \int_{0}^{\sqrt{5}}t(t^2-1)dt= \frac{t^4}{4}- \frac{t^2}{2}|_{0}^{\sqrt{5}}=\frac{25}{4}-\frac{5}{2}= \frac{15}{4}.$ Wartość całki $ \int\int_{(S)}ydS= \frac{15}{4}\pi.$ Wiadomość była modyfikowana 2015-05-24 15:38:52 przez janusz78 |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj