logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Inne, zadanie nr 3473

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

magdalena132
postów: 18
2015-06-02 14:14:27

1) Znajdź wszystkie pierwiastki wymierne wielomianu
W(x)=2x^4-3x^3-5x^2+14x-8
2)Zapisz wzór Taylora z resztą Lagrange'a dla
n=3, x=1, f(x)=lnx
3)Znajdź ekstrema lokalne funkcji
f(x,y)=3(x-2)^2+2(y-3)^2


janusz78
postów: 820
2015-06-02 15:49:28

Zad.1
Wielomian nie posiada pierwiastków wymiernych, bo na podstawie twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu musiały być one
dzielnikami liczby 4, bo $D(\frac{a_{0}}{a_{n}})= D(\frac{8}{2})=D(4)=\left\{-1,1,-2,2,-4,4 \right\},$a nie są.

Zad.2

Wielomian Taylora-Maclaurina z resztą Lagrange'a dla $n=3$
$f(x)= f(x_{0})+\frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})^1 +\frac{f"(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^2+ f^{(3)}{3!}(x-x_{0})^3 + R_{3}$(1)
Reszta
$R_{3}=\frac{f^{(4)}(c)}{4!}(x- x_{0})^4.$

Obliczając kolejne pochodne funkcji logarytm naturalny i wstawiając do równania (1) otrzymamy
$ln(x)= 0 +(x-1)-\frac{1}{2}(x-2)^2+\frac{1}{3}(x-3)^3+R_{3},$
gdzie reszta $ R_{3}=-\frac{3}{2c^4}(x-1)^4$
$c\in (x,1)\cup(1, x).$

Zad.3

$D_{f}= R $

Współrzędne punktów krytycznych
$f'_{|x}(x,y)=6(x-2)=0, x_{1}=2.$
$f'_{|y}(x,y)=4(y-3)=0, y_{1}=3.$
$P=(2,3)$
Macierz drugiej różniczki w punkcie P
$D^2(P)= \left[\begin{matrix}6&0\\ 0&4\end{matrix}\right.]$
jest dodatnio określona, bo wyznaczniki $D_{1}=6>0, D_{2}=24>0.$
Funkcja w punkcie $P=(2,3)$ ma minimum lokalne
$f_{min.lok.}=f(2,3)=0.$



Wiadomość była modyfikowana 2015-06-02 17:25:07 przez janusz78
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 50 drukuj