logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Inne, zadanie nr 3486

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

kasia93
postów: 65
2015-06-08 16:54:58

Rzucamy 2 razy kostką do gry.Y-suma wyrzuconych oczek .Wyznaczyć funkcję h(X)=E(Y/X),jeżeli X oznacza liczbę oczek otrzymanych w pierwszym rzucie.Obliczyć E(Y) i $D^{2}(Y)$


janusz78
postów: 820
2015-06-10 12:13:57

Model dwukrotnego rzutu sześcienną kostką do gry.

$\Omega=\left\{\omega: \omega= f:<1, 2> \rightarrow \left\{1,2,3,4,5,6\right\}\right\}.$

$|\Omega\|=6^2=36.$

$Pr(\omega_{i})= \frac{1}{|\Omega|}= \frac{1}{36}, i=1,2...,36.$

Rozkład zmiennej losowej $ Y $:

$Pr(Y=2) = \frac{1}{36}.$
$Pr(Y=3) = \frac{2}{36}.$
$Pr(Y=4) = \frac{3}{36}.$
$Pr(Y=5) = \frac{4}{36}.$
$Pr(Y=6) = \frac{5}{36}.$
$Pr(Y=7) = \frac{6}{36}.$
$Pr(Y=8) = \frac{5}{36}.$
$Pr(Y=9) = \frac{4}{36}.$
$Pr(Y=10)= \frac{3}{36}.$
$Pr(Y=11)= \frac{2}{36}.$
$Pr(Y=12)= \frac{1}{36}.$

Rozkład zmiennej losowej $X $

$ Pr(X= i) = \frac{1}{6},\ \ i=1,2,3,4,5,6.$

Wartość średnia zmiennej losowej $Y$

$ E(Y)= 2\cdot \frac{1}{36}+ 3\cdot \frac{2}{36}+ 4\cdot \frac{3}{36}+ 5\cdot \frac{4}{36}+ 6\cdot \frac{5}{36}+ 7\cdot \frac{6}{36}+ 8\cdot \frac{5}{36}+ 9\cdot \frac{4}{36} + 10\cdot \frac{3}{36}+ 11\cdot \frac{2}{36}+ 12\cdot\frac{1}{36}= \frac{252}{36} = 7.$

Wariancja zmiennej losowej Y.

$D^2(Y)= E(X^2)-(E(X))^{2} = 2^2\cdot \frac{1}{36}+ 3^2\cdot \frac{2}{36}+ 4^2\cdot \frac{3}{36}+ 5^2\cdot \frac{4}{36}+ 6^2\cdot \frac{5}{36}+ 7^2\cdot \frac{6}{36}+ 8^2\cdot \frac{5}{36}+ 9^2\cdot \frac{4}{36} + 10^2\cdot \frac{3}{36}+ 11^2\cdot \frac{2}{36}+ 12^2\cdot \frac{1}{36} -7^2 = \frac{210}{36}= \frac{55}{9}= 6\frac{1}{9}.$

Rozkład warunkowy $ Y/X $ zmiennych losowych $Y, X $

$ Y/X:$

$Pr\left(Y=2|X=1\right )= p_{2|1}=\frac{Pr((Y=2)\cap (X= 1))}{Pr(X= 1)} = \frac{\frac{1}{36}}{\frac{1}{6}} =\frac{6}{36}= \frac{1}{6}.$

$Pr(Y=2|X=2)= 0 = p_{2|2}=0,\ \ Pr(Y=2|X=j)=0,\ \ j= 2,3,4,5,6.$

$Pr(Y=j|X =i)= p_{j|i}= \frac{1}{6}, \ \ j=2,3,4,5,6,7,\ \ i=1,2,...,j-1 $

$Pr(Y=j|X=i)= p_{j|i}= 0,$ dla $ j= 8,9,10,11,12, i = 1,2,3,4,5,6$

Warunkowa wartość oczekiwana

$h(X) = E(Y|X)= \sum_{k=1}^{12} y_{k}\cdot Pr\left(Y= y_{k}|X= x \right),\ \ x= 1,2,3,4,5,6, y_{k}= k+1,\ \ k= 1,2,..,12$



Wiadomość była modyfikowana 2015-06-10 15:40:07 przez janusz78
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 15 drukuj