logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 3494

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

alamberska
postów: 3
2015-06-10 18:01:13

Bardzo pilne !
1. Oblicz całki nieoznaczone z funkcji wymiernych:
a) dx/-x^2+x+1
b) dx/x^2-6x+13


tumor
postów: 8070
2015-06-10 18:59:20

Gdy rozwiązuję to zakładam, że znasz kolejność wykonywania działań. Jeśli nie jesteś jeszcze na etapie gimnazjum, to zdaj sobie sprawę, że otrzymanie przez ciebie dyplomu jest analogiczne do ukradzenia przez ciebie samochodu. Oczywiście, że się uda.


janusz78
postów: 820
2015-06-11 11:21:12


Sprowadzamy trójmian kwadratowy mianownika funkcji wymiernej do postaci kanonicznej

$\int\frac{1}{-x^2+x+1}dx =\int\frac{1}{-(x^2-x-1)}dx =
\int-\frac{1}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{5}{4}}dx =$

Wyłączamy ułamek $ \frac{5}{4}$ z mianownika funkcji wymiernej przed znak całki

$=-\frac{4}{5}\int \frac{1}{\frac{\left(x-\frac{1}{2} \right)^2}{\frac{5}{4}}-1}dx = -\frac{4}{5}\int \frac{1}{\left(\frac{2x-1}{\sqrt{5}}\right)^2- 1}dx=$

Stosujemy podstawienia:

$\frac{ 2x-1}{\sqrt{5}}= t, \frac{2dx}{\sqrt{5}}= dt, dx= \frac{\sqrt{5}dt}{2}.$

otrzymując

$= -\frac{2\sqrt{5}}{5}\int \frac{1}{t^2 -1}dt= $

Rozkładamy funkcję podcałkową na ułamki proste

$\frac{1}{t^2-1}= -\frac{1}{2(t-1)}+ \frac{1}{2(t+1)}$

$=\frac{\sqrt{5}}{5}\int \left(\frac{1}{t-1} -\frac{1}{t+1}\right)dt= \frac{\sqrt{5}}{5}\left(ln(t-1) -\ln(t+1)\right) +C = \frac{\sqrt{5}}{5}\ln\frac{(t-1)}{(t+1)}+ C $

Wracamy do pierwszego z podstawień

$\int \frac{1}{-x^2+x+1}dx = \frac{\sqrt{5}}{5}\ln\frac{ \left(\frac{2x-1}{\sqrt{5}}-1\right)}{\left(\frac{2x-1}{\sqrt{5}}+1 \right)}+C.$

Z drugą całką sobie poradzisz.

Wiadomość była modyfikowana 2015-06-12 08:57:26 przez janusz78
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 45 drukuj