Inne, zadanie nr 3497
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
kklaudiaa4 postów: 1 | 2015-06-10 22:22:10 funkcja uwikłana. Wyznaczyć ekstrema funckji uwikłanej: 1. x^{2}-4x+y^(2) = 5 2. y`` - 2y` - 3y= -4e^(x) + 3 Rozwiąż równania. |
tumor postów: 8070 | 2016-07-31 20:21:40 1. Pochodne funkcji uwikłanej y(x) danej wzorem F(x,y)=0 liczymy $y`=-\frac{\frac{\delta F}{\delta x}}{\frac{\delta F}{\delta y}}$ $y``=-\frac{\frac{\delta^2 F}{\delta x^2}}{\frac{\delta F}{\delta y}}$ tu mamy $y`(x)=-\frac{2x-4}{2y}=-\frac{x-2}{y}$ $y``(x)=\frac{2}{2y}=-\frac{1}{y}$ Warunek konieczny ekstremum, czyli y`(x)=0 spełniony jest dla x=2, doliczamy y $2^2-8+y^2=5$ $y=\pm 3$ Mamy zatem punkty (2,-3), (2,3) W pierwszym z nich mamy minimum (bo $y``(x)>0$), w drugim maksimum. ---- 2. Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne drugiego rzędu o stałych współczynnikach $y``-2y`-3y=0$ równanie charakterystyczne $\lambda^2-2\lambda-3$ ma rozwiązania -1 i 3, wobec tego rozwiązaniem równania jednorodnego jest $\phi(x)=C_1e^{-x}+C_2e^{3x}$ Teraz w łatwych przykładach odgadujemy postać przynajmniej jednego rozwiązania równania niejednorodnego. Mamy $y(x)=e^x-1$, wówczas $y`(x)=y``(x)=e^x$ oraz $y``-2y`-3y=-4e^x+3$ zatem rozwiązaniem całego równania będzie $f(x)=C_1e^{-x}+C_2e^{3x}+e^x-1$ Natomiast w przypadku bardziej skomplikowanym użylibyśmy metody uzmienniania stałych $C_1, C_2$, czyli potraktowali je jak funkcje zmiennej x. |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj