logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Inne, zadanie nr 3497

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

kklaudiaa4
postów: 1
2015-06-10 22:22:10

funkcja uwikłana. Wyznaczyć ekstrema funckji uwikłanej:

1. x^{2}-4x+y^(2) = 5
2. y`` - 2y` - 3y= -4e^(x) + 3

Rozwiąż równania.


tumor
postów: 8070
2016-07-31 20:21:40

1.

Pochodne funkcji uwikłanej y(x) danej wzorem F(x,y)=0 liczymy

$y`=-\frac{\frac{\delta F}{\delta x}}{\frac{\delta F}{\delta y}}$
$y``=-\frac{\frac{\delta^2 F}{\delta x^2}}{\frac{\delta F}{\delta y}}$

tu mamy
$y`(x)=-\frac{2x-4}{2y}=-\frac{x-2}{y}$
$y``(x)=\frac{2}{2y}=-\frac{1}{y}$

Warunek konieczny ekstremum, czyli y`(x)=0 spełniony jest dla x=2, doliczamy y
$2^2-8+y^2=5$
$y=\pm 3$

Mamy zatem punkty (2,-3), (2,3)
W pierwszym z nich mamy minimum (bo $y``(x)>0$), w drugim maksimum.


----


2. Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne drugiego rzędu o stałych współczynnikach
$y``-2y`-3y=0$
równanie charakterystyczne
$\lambda^2-2\lambda-3$ ma rozwiązania -1 i 3, wobec tego rozwiązaniem równania jednorodnego jest
$\phi(x)=C_1e^{-x}+C_2e^{3x}$

Teraz w łatwych przykładach odgadujemy postać przynajmniej jednego rozwiązania równania niejednorodnego. Mamy
$y(x)=e^x-1$, wówczas
$y`(x)=y``(x)=e^x$ oraz
$y``-2y`-3y=-4e^x+3$
zatem rozwiązaniem całego równania będzie
$f(x)=C_1e^{-x}+C_2e^{3x}+e^x-1$
Natomiast w przypadku bardziej skomplikowanym użylibyśmy metody uzmienniania stałych $C_1, C_2$, czyli potraktowali je jak funkcje zmiennej x.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj