Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 3498

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
qwq postów: 1	2015-06-11 11:50:18 y''+ 5*y' +6 y=(3e^-x)-2x^2 wie ktos jak to rozwiazac albo podobne zadanie z rozwiazaniem mógłby podesłac ?

janusz78 postów: 820	2015-06-11 19:39:41 Najpierw rozwiązujemy równanie różniczkowe II rzędu o współczynnikach stałych- jednorodne $y"+5y'+6y = 0$ Podstawienie $y^{rx}$ prowadzi do równania charakterystycznego $ r^2 +5r +6 =0$ Rozwiązaniem tego równania kwadratowego są dwie różne liczby rzeczywiste $ r_{1}=-3, r_{2}=-1.$ Znajdujemy całkę ogólną (rozwiązanie ogólne) równania jednorodnego $ y_{0}= C_{1}e^{-3x} + C_{2}e^{-x}$ Aby znaleźć rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego musimy znaleźć rozwiązanie szczególne $ y_{s}$ równania niejednorodnego. W tym celu posłużymy się jedną z metod - metodą przewidywania. Przewidujemy $ y_{s} $ w postaci $y_{s}= Ae^{-x}+ Bx^2 +Cx + D.$ Obliczamy kolejno $y'_{s}= -Ae^{-x}+2Bx +C,$ $y"_{s}= Ae^{-x} +2B,$ Podstawiamy do równania $y"_{s}, y'_{s}, y_{s}.$ Porzadkujemy i porównujemy współczynniki po lewej i prawej stronie równania. Otrzymujemy $A =\frac{3}{2}, B = -\frac{1}{3}, C= \frac{5}{9}, D=-\frac{19}{54}.$ $y_{s}=\frac{3}{2}e^{-x} -\frac{1}{3}x^2+\frac{5}{9}x -\frac{19}{54}.$ Rozwiązanie ogólne równania $y = y_{0}+ y_{s}= C_{1}e^{-3x}+C_{2}e^{-x}+\frac{3}{2}e^{-x} -\frac{1}{3}x^2+\frac{5}{9}x -\frac{19}{54}.$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj