logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 3498

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

qwq
postów: 1
2015-06-11 11:50:18

y''+ 5*y' +6 y=(3e^-x)-2x^2 wie ktos jak to rozwiazac albo podobne zadanie z rozwiazaniem mógłby podesłac ?


janusz78
postów: 820
2015-06-11 19:39:41

Najpierw rozwiązujemy równanie różniczkowe II rzędu o współczynnikach stałych- jednorodne

$y"+5y'+6y = 0$

Podstawienie $y^{rx}$ prowadzi do równania charakterystycznego
$ r^2 +5r +6 =0$

Rozwiązaniem tego równania kwadratowego są dwie różne liczby rzeczywiste $ r_{1}=-3, r_{2}=-1.$

Znajdujemy całkę ogólną (rozwiązanie ogólne) równania jednorodnego
$ y_{0}= C_{1}e^{-3x} + C_{2}e^{-x}$

Aby znaleźć rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego musimy znaleźć rozwiązanie szczególne $ y_{s}$ równania niejednorodnego.

W tym celu posłużymy się jedną z metod - metodą przewidywania.
Przewidujemy $ y_{s} $ w postaci
$y_{s}= Ae^{-x}+ Bx^2 +Cx + D.$

Obliczamy kolejno
$y'_{s}= -Ae^{-x}+2Bx +C,$
$y"_{s}= Ae^{-x} +2B,$

Podstawiamy do równania $y"_{s}, y'_{s}, y_{s}.$
Porzadkujemy i porównujemy współczynniki po lewej i prawej stronie równania.

Otrzymujemy

$A =\frac{3}{2}, B = -\frac{1}{3}, C= \frac{5}{9}, D=-\frac{19}{54}.$

$y_{s}=\frac{3}{2}e^{-x} -\frac{1}{3}x^2+\frac{5}{9}x -\frac{19}{54}.$

Rozwiązanie ogólne równania
$y = y_{0}+ y_{s}= C_{1}e^{-3x}+C_{2}e^{-x}+\frac{3}{2}e^{-x} -\frac{1}{3}x^2+\frac{5}{9}x -\frac{19}{54}.$


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 15 drukuj