logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 3501

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

klaudia1208
postów: 1
2015-06-12 16:53:20

Cześć,
mam problem z następującymi całkami. Potrzebuję je mieć rozwiązane do zaliczenia ćwiczeń, także z góry dziękuję za wszelką pomoc. Przydałoby mi się rozwiązanie krok po kroku.

1. Oblicz pole ograniczone linią: x= 3(cost+tsint) , y=3(sint+tcost)
2. Oblicz długość łuku: 2y^2=x-2x^2, 0<=x<=2


janusz78
postów: 820
2015-06-13 11:20:16

Zad.1

Figura ograniczona krzywą zamkniętą (pętlą)

$ x(-\pi)= x(\pi), y(-\pi)= y(\pi).$

Korzystamy ze wzoru na pole figury przedstawionej równaniami parametrycznymi.

$|P|= \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}(x(t)y'(t)-x'(t)y(t))dt.$

Obliczamy kolejno:
$x'(t)= 3( -\sin(t) + \sin(t)+ t\cos(t))= 3t\cos(t).$
$y'(t)= 3( \cos(t)+\cos(t) -t\sin(t))= 3(2\cos(t)-t\sin(t)).$

$x(t)y'(t)= 9(\cos(t)+t\sin(t))(2\cos(t)-t\sin(t))= 9(2\cos^2(t)+ t\sin(t)\cos(t) -t^2\sin^2(t)).$

$x'(t)y(t)= 9t\cos(t)( sin(t)+t\cos(t))= 9(t\sin(t)\cos(t)+t^2\cos^2(t))$

Wyrażenie pod całką

$x(t)y'(t) - x'(t)y(t)= 9(2\cos^2(t)+t\sin(t)\cos(t)-t^2\sin^2(t) - t\sin(t)\cos(t)- t^2\cos^2(t))= 9(2\cos^2(t)-t^2(sin^2(t)+\cos^2(t)))= 9(2\cos^2(t)- t^2).$

Pole ograniczone krzywą

$ |P|= \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi} 9(2\cos^2(t)- t^2)dt.$

$ |P|= \frac{9}{2}\int_{-\pi}^{\pi} (1+\cos(2t))dt -\frac{9}{2}\int_{-\pi}^{\pi}t^2 dt.$

$|P|= \frac{9}{2}( t + \frac{1}{2}\sin(2t))|_{-\pi}^{\pi}- \frac{t^3}{3}|_{-\pi}^{\pi}= 9\pi-\frac{2}{3}\pi^{3}\approx 7,6.$

Ze względu na symetrię krzywej, mogliśmy obliczyć wartość dwóch całek od $ 0 $ do $ \pi $

$|P|= 2\cdot \frac{9}{2}\int_{0}^{\pi}( 2\cos^2(t)-t^2)dt.$

Zad.2

Zapisujemy równanie krzywej we współrzędnych biegunowych

$ 2y^2 = x- 2x^2$

$2(x^2 +y^2)= x$

$2(r^2\cos^2(\phi)+ r^2\sin^2(\phi))= r\cos(\phi).$

$ 2(r^2(\cos^2(\phi) +\sin^2(\phi)))= r\cos(\phi).$

$ 2r^2 = r\cos(\phi).$

$ r = \frac{1}{2}\cos(\phi).$

Zastosujemy wzór na długość krzywej w postaci

$|L|= \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^2(\phi)+ r'^2(\phi)}d\phi.$

$|L| = \int_{0}^{2\pi}\sqrt{\frac{1}{4}\cos^2(\phi)+\frac{1}{4}(-\sin^2(\phi))}d\phi.$

$|L|= \int_{0}^{2\pi}\sqrt{\frac{1}{4}(\cos^2(\phi)+\sin^2(\phi))}d\phi.$

$|L|= \int_{0}^{2\pi}\sqrt{\frac{1}{4}}d\phi.$

$|L|= \int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2}d\phi = \frac{1}{2}\phi |_{0}^{2\pi}= \frac{1}{2}(2\pi -0) =\pi.$


Wiadomość była modyfikowana 2015-06-13 11:42:44 przez janusz78

janusz78
postów: 820
2015-06-13 11:20:16

Zad.1

Figura ograniczona krzywą zamkniętą (pętlą)

$ x(-\pi)= x(\pi), y(-\pi)= y(\pi).$

Korzystamy ze wzoru na pole figury przedstawionej równaniami parametrycznymi.

$|P|= \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}(x(t)y'(t)-x'(t)y(t))dt.$

Obliczamy kolejno:
$x'(t)= 3( -\sin(t) + \sin(t)+ t\cos(t))= 3t\cos(t).$
$y'(t)= 3( \cos(t)+\cos(t) -t\sin(t))= 3(2\cos(t)-t\sin(t)).$

$x(t)y'(t)= 9(\cos(t)+t\sin(t))(2\cos(t)-t\sin(t))= 9(2\cos^2(t)+ t\sin(t)\cos(t) -t^2\sin^2(t)).$

$x'(t)y(t)= 9t\cos(t)( sin(t)+t\cos(t))= 9(t\sin(t)\cos(t)+t^2\cos^2(t))$

Wyrażenie pod całką

$x(t)y'(t) - x'(t)y(t)= 9(2\cos^2(t)+t\sin(t)\cos(t)-t^2\sin^2(t) - t\sin(t)\cos(t)- t^2\cos^2(t))= 9(2\cos^2(t)-t^2(sin^2(t)+\cos^2(t)))= 9(2\cos^2(t)- t^2).$

Pole ograniczone krzywą

$ |P|= \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi} 9(2\cos^2(t)- t^2)dt.$

$ |P|= \frac{9}{2}\int_{-\pi}^{\pi} (1+\cos(2t))dt -\frac{9}{2}\int_{-\pi}^{\pi}t^2 dt.$

$|P|= \frac{9}{2}( t + \frac{1}{2}\sin(2t))|_{-\pi}^{\pi}- \frac{t^3}{3}|_{-\pi}^{\pi}= 9\pi-\frac{2}{3}\pi^{3}.$

Ze względu na symetrię krzywej, mogliśmy obliczyć wartość dwóch całek od $ 0 $ do $ \pi $

$|P|= 2\cdot \frac{9}{2}\int_{0}^{\pi}( 2\cos^2(t)-t^2)dt.$

Zad.2

Zapisujemy równanie krzywej we współrzędnych biegunowych

$ 2y^2 = x- 2x^2$

$2(x^2 +y^2)= x$

$2(r^2\cos^2(\phi)+ r^2\sin^2(\phi))= r\cos(\phi).$

$ 2(r^2(\cos^2(\phi) +\sin^2(\phi)))= r\cos(\phi).$

$ 2r^2 = r\cos(\phi).$

$ r = \frac{1}{2}\cos(\phi).$

Zastosujemy wzór na długość krzywej w postaci

$|L|= \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^2(\phi)+ r'^2(\phi}d\phi.$

$|L| = \int_{0}^{2\pi}\sqrt{\frac{1}{4}\cos^2(\phi)+\frac{1}{4}(-\sin^2(\phi))}d\phi.$

$|L|= \int_{0}^{2\pi}\sqrt{\frac{1}{4}(\cos^2(\phi)+\sin^2(\phi))}d\phi.$

$|L|= \int_{0}^{2\pi}\sqrt{\frac{1}{4}}d\phi.$

$|L|= \int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2}d\phi = \frac{1}{2}\phi |_{0}^{2\pi}= \frac{1}{2}(2\pi -0) =\pi.$


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 68 drukuj