Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 3504

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
grzybu141 postów: 2	2015-06-13 15:47:46 Witam mam do rozwiązania 2 zadania. 1. Zmienne rozdzielone : (1+y^2)dx - xydy = 0 y(2) = 1 2. Równanie liniowe : dy/dx + y/x = sinx/x Pozdrawiam :)

janusz78 postów: 820	2015-06-13 22:25:44 1. Rozdzielamy zmienne $\frac{y}{1-y^2}dy = \frac{1}{x}dx$ Obustronnie całkujemy $\int \frac{y}{1-y^2}dy = \int \frac{1}{x}dx.$ $-\frac{1}{2}\ln\|1-y^2\|= \ln\|x\|-ln(C).$ $ \ln\|1-y^2\|= 2\ln(C)- 2ln\|x\|.$ $1 - y^2 = \frac{C^2}{x^2}.$ $ y =\mp \sqrt{1 -\frac{C^2}{x^{2}}}.$ 2. Znajdujemy rozwiązanie ogólne równania jednorodnego jednokładności Stosujemy podstawienie $u = \frac{y}{x}, y = u\cdot x.$ $y'= u'x + u\cdot 1 = u'x +u.$ $ u'x +u + \frac{ux}{x}= 0.$ $u'x +u +u =0.$ $ u'x = -2u.$ $\frac{u'}{u} = -\frac{2}{x}.$ $ \int\frac{u'}{u}du = -2\int \frac{1}{x}dx.$ $\ln\|u\| = ln\|x\|^{-2}+\ln(C), C>0.$ $ u = \frac{C}{x^2}.$ $ y = \frac{C}{x}.$ Uzmienniamy stałą $ C.$ Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego $y_{o}= \frac{C(x)}{x}.$ $y'_{o}= C'(x)x^{-1}- C(x)x^{-2}.$ Podstawiamy do równania $y'{o}, y_{o}.$ $\frac{C'(x)}{x}- \frac{C(x)}{x^2}+ \frac{C(x)}{x^2}=\frac{\sin(x)}{x}.$ $\frac{C'(x)}{x}= \frac{\sin(x)}{x}.$ $C'(x)= \sin(x).$ $C(x)= \int sin(x)dx = -\cos(x)+ A.$ $ y_{o}= \frac{-\cos(x)+ A}{x}= -\frac{cos(x)}{x}+ \frac{A}{x}.$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj