logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 3504

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

grzybu141
postów: 2
2015-06-13 15:47:46

Witam mam do rozwiązania 2 zadania.

1. Zmienne rozdzielone :
(1+y^2)dx - xydy = 0
y(2) = 1

2. Równanie liniowe :

dy/dx + y/x = sinx/x

Pozdrawiam :)


janusz78
postów: 820
2015-06-13 22:25:44

1.

Rozdzielamy zmienne

$\frac{y}{1-y^2}dy = \frac{1}{x}dx$

Obustronnie całkujemy

$\int \frac{y}{1-y^2}dy = \int \frac{1}{x}dx.$

$-\frac{1}{2}\ln|1-y^2|= \ln|x|-ln(C).$

$ \ln|1-y^2|= 2\ln(C)- 2ln|x|.$

$1 - y^2 = \frac{C^2}{x^2}.$

$ y =\mp \sqrt{1 -\frac{C^2}{x^{2}}}.$


2.

Znajdujemy rozwiązanie ogólne równania jednorodnego jednokładności

Stosujemy podstawienie

$u = \frac{y}{x}, y = u\cdot x.$

$y'= u'x + u\cdot 1 = u'x +u.$

$ u'x +u + \frac{ux}{x}= 0.$

$u'x +u +u =0.$

$ u'x = -2u.$

$\frac{u'}{u} = -\frac{2}{x}.$

$ \int\frac{u'}{u}du = -2\int \frac{1}{x}dx.$

$\ln|u| = ln|x|^{-2}+\ln(C), C>0.$

$ u = \frac{C}{x^2}.$

$ y = \frac{C}{x}.$

Uzmienniamy stałą $ C.$

Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego

$y_{o}= \frac{C(x)}{x}.$

$y'_{o}= C'(x)x^{-1}- C(x)x^{-2}.$

Podstawiamy do równania $y'{o}, y_{o}.$

$\frac{C'(x)}{x}- \frac{C(x)}{x^2}+ \frac{C(x)}{x^2}=\frac{\sin(x)}{x}.$

$\frac{C'(x)}{x}= \frac{\sin(x)}{x}.$

$C'(x)= \sin(x).$

$C(x)= \int sin(x)dx = -\cos(x)+ A.$

$ y_{o}= \frac{-\cos(x)+ A}{x}= -\frac{cos(x)}{x}+ \frac{A}{x}.$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 53 drukuj