logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 3506

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

limes
postów: 1
2015-06-14 12:36:51

Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu równania liniowego

$\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=\frac{x}{cosx}$


janusz78
postów: 820
2015-06-17 15:56:46

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego RORJ

$\frac{dy}{x}+\frac{y}{x}=0.$

$\frac{dy}{dx}= -\frac{y}{x}.$

$ \int\frac{dy}{y}= -\int \frac{dx}{x}.$

$\ln|y|= \ln|x|^{-1}+ln(C)= \ln C|x|^{-1},$

$ y_{o}= \frac{C}{x},\ \ C>0,\ \ x>0.$

Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego znajdujemy uzmienniając stałą $ C.$

$y = \frac{C(x)}{x}.$

$y'= \frac{C'(x)}{x} - \frac{C(x)}{x^2}.$

$\frac{C'(x)}{x} - \frac{C(x)}{x^2} +\frac{C(x)}{x^2}= \frac{x}{\cos(x)}.$

$\frac{C'(x)}{x}=\frac{x}{\cos(x)}.$

$ C'(x)= \frac{x^2}{\cos(x)}.$

$C(x) = \int \frac{x^2}{\cos(x)}dx.$

Dwukrotne całkowanie przez części.

$C(x) = \int \frac{x^2}{\cos(x)}dx = \int x^2\tan'(x)dx.$

$C(x) = x^2\tan(x)- 2\int x\tan(x)dx.$

$C(x)= x^2\tan(x)- 2\int x(-\ln |cos(x)|)'dx.$

$C(x)= x^2\tan(x) +2x\ln |\cos(x)| - 2\int (\ln |\cos(x))|'dx.$

$C(x)= x^2 \tan(x) + 2x\ln \cos(x)|- 2\ln |\cos(x)|+ A.$

Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego RORN

$ y = x\tan(x) + 2\ln|cos(x)|- \frac{2\ln |\cos(x)|}{x} +\frac{A}{x}.$




Wiadomość była modyfikowana 2015-06-17 16:04:03 przez janusz78
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 21 drukuj