Inne, zadanie nr 3545

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
julcialeo94 postów: 3	2015-06-29 09:45:53 Wyznaczyć ekstremum lokalne funkcji f(x,y) = (x^2-4y^2)lnx

janusz78 postów: 820	2015-06-29 19:02:00 $ D_{f}:(x,y) x>0 \wedge y\in R$ - prawa półpłaszczyzna płaszczyzny $R^2.$ $f'_{x}(x,y) = 2x\ln(x)+(x^2-4y^2)\frac{1}{x}.$ $f'_{y}(x,y) = -8yln(x)$ $ 2x\ln(x) + (x^2-4y^2)\frac{1}{x}=0 \wedge -8y\ln(x)=0.$ Z drugiego równania: $\ln(x)=0 \vee y=0, \ \ x =1 \vee y=0 $ Podstawiając $ x= 1$ do pierwszego równania otrzymujemy $2\cdot 1 \ln(1)+(1^2 -4y^2)1 = 0$ $(1-2y)(1+2y)= 0,\ \ y_{1}= \frac{1}{2},\ \ y_{2}= -\frac{1}{2}.$ Podstawiając $ y=0 $ do pierwszego równania otrzymujemy $ x=0.$ Współrzędne punktów krytycznych: $ P(1,\ \ -\frac{1}{2}),\ \ Q(1,\ \ \frac{1}{2}),\ \ R(0,\ \ 0).$ Drugie pochodne cząstkowe $f"_{xx}(x,y)= 2\ln(x)+2x\frac{1}{x}+2x\frac{1}{x}-frac{x^2-4y^2}{x^2}.$ $f"_{xx}(x,y)= 2ln(x)-\frac{x^2-4y^2}{x^2}+4.$ $f"_{xy}(x,y)= -\frac{8y}{x}= f"_{yx}(x,y).$ $f"_{yy}(x,y) = -8ln(x).$ Wartości drugich pochodnych cząstkowych, odpowiednio w punktach P, Q (punkt R- nas nie interesuje bo nie należy di dziedziny) $ f"_{xx}(P)= f"_{xx}(1, -\frac{1}{2})= 4.$ $f"_{xy}(P)= f"_{xy}(1, -\frac{1}{2})= 4 = f"_{yx}(P)=f"_{yx}(1, -\frac{1}{2}).$ $f"_{yy}(P)= f"_{yy}(1,-\frac{1}{2})= 0.$ $ f"_{xx}(Q)= f"_{xx}(1, \frac{1}{2})= 4.$ $f"_{xy}(Q)= f"_{xy}(1, \frac{1}{2})= -4 = f"_{yx}(Q)= f"_{yx}(1, \frac{1}{2}).$ $f"_{yy}(Q)= f"_{yy}(1, \frac{1}{2})= 0.$ Macierze drugich różniczek w punktach P, Q: $D^2f(P)= \left[\begin{matrix}4&4\\4&0 \end{matrix}\right.].$ $D^2f(Q)= \left[\begin{matrix}4&-4\\-4&0 \end{matrix}\right.].$ W punkcie $P(1, -\frac{1}{2}),\ \ d_{1}= 4,\ \ d_{2}= 4\cdot 0-4\cdot 4=-16<0$ funkcja nie ma ekstremum lokalnego (punkt siodłowy). W punkcie $Q(1, \frac{1}{2}),\ \ d_{1}= 4,\ \ d_{2}= 4\cdot 0+4\cdot (-4)=-16<0$ funkcja nie ma ekstremum lokalnego (punkt siodłowy). Funkcja nie posiada ekstremów lokalnych. Wiadomość była modyfikowana 2015-06-29 19:06:13 przez janusz78

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj