Inne, zadanie nr 3545
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
julcialeo94 post贸w: 3 |  2015-06-29 09:45:53Wyznaczy膰 ekstremum lokalne funkcji f(x,y) = (x^2-4y^2)lnx |
janusz78 post贸w: 820 | 2015-06-29 19:02:00 $ D_{f}:(x,y) x>0 \wedge y\in R$ - prawa p贸艂p艂aszczyzna p艂aszczyzny $R^2.$ $f\'_{x}(x,y) = 2x\ln(x)+(x^2-4y^2)\frac{1}{x}.$ $f\'_{y}(x,y) = -8yln(x)$ $ 2x\ln(x) + (x^2-4y^2)\frac{1}{x}=0 \wedge -8y\ln(x)=0.$ Z drugiego r贸wnania: $\ln(x)=0 \vee y=0, \ \ x =1 \vee y=0 $ Podstawiaj膮c $ x= 1$ do pierwszego r贸wnania otrzymujemy $2\cdot 1 \ln(1)+(1^2 -4y^2)1 = 0$ $(1-2y)(1+2y)= 0,\ \ y_{1}= \frac{1}{2},\ \ y_{2}= -\frac{1}{2}.$ Podstawiaj膮c $ y=0 $ do pierwszego r贸wnania otrzymujemy $ x=0.$ Wsp贸艂rz臋dne punkt贸w krytycznych: $ P(1,\ \ -\frac{1}{2}),\ \ Q(1,\ \ \frac{1}{2}),\ \ R(0,\ \ 0).$ Drugie pochodne cz膮stkowe $f\"_{xx}(x,y)= 2\ln(x)+2x\frac{1}{x}+2x\frac{1}{x}-frac{x^2-4y^2}{x^2}.$ $f\"_{xx}(x,y)= 2ln(x)-\frac{x^2-4y^2}{x^2}+4.$ $f\"_{xy}(x,y)= -\frac{8y}{x}= f\"_{yx}(x,y).$ $f\"_{yy}(x,y) = -8ln(x).$ Warto艣ci drugich pochodnych cz膮stkowych, odpowiednio w punktach P, Q (punkt R- nas nie interesuje bo nie nale偶y di dziedziny) $ f\"_{xx}(P)= f\"_{xx}(1, -\frac{1}{2})= 4.$ $f\"_{xy}(P)= f\"_{xy}(1, -\frac{1}{2})= 4 = f\"_{yx}(P)=f\"_{yx}(1, -\frac{1}{2}).$ $f\"_{yy}(P)= f\"_{yy}(1,-\frac{1}{2})= 0.$ $ f\"_{xx}(Q)= f\"_{xx}(1, \frac{1}{2})= 4.$ $f\"_{xy}(Q)= f\"_{xy}(1, \frac{1}{2})= -4 = f\"_{yx}(Q)= f\"_{yx}(1, \frac{1}{2}).$ $f\"_{yy}(Q)= f\"_{yy}(1, \frac{1}{2})= 0.$ Macierze drugich r贸偶niczek w punktach P, Q: $D^2f(P)= \left[\begin{matrix}4&4\\4&0 \end{array}\right].$ $D^2f(Q)= \left[\begin{matrix}4&-4\\-4&0 \end{array}\right].$ W punkcie $P(1, -\frac{1}{2}),\ \ d_{1}= 4,\ \ d_{2}= 4\cdot 0-4\cdot 4=-16<0$ funkcja nie ma ekstremum lokalnego (punkt siod艂owy). W punkcie $Q(1, \frac{1}{2}),\ \ d_{1}= 4,\ \ d_{2}= 4\cdot 0+4\cdot (-4)=-16<0$ funkcja nie ma ekstremum lokalnego (punkt siod艂owy). Funkcja nie posiada ekstrem贸w lokalnych. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2015-06-29 19:06:13 przez janusz78 |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj