Algebra, zadanie nr 3554
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| pitekpwr postów: 4 |  2015-07-05 19:41:14Cześć, treść zadania jest taka, Korzystając z uogólnionego algorytmu Euklidesa, znajdź element odwrotny do $31$ z grupie $Zn_{36}$. Ile elementów ma ta grupa. To zadanie nie jest specjalnie trudne, wymaga tylko opanowania metody. $31*x + 36 * y = 1$ $\begin{cases} 31 * 0 + 36 * 1 = 36\\ 31 *1 + 36 * 0 = 31\end{cases}$ $\begin{cases} 31 * 1 + 36 * 0 = 31\\ 31 *(-1) + 36 * 1 = 5\end{cases}$ $ \begin{cases} 31 * (-1) + 36 * 1 = 5\\ 31 *7 + 36 * (-6) = 1\end{cases}$ $31 *7 + 36 * (-6) = 1$ Jak teraz wyznaczyć element odwrotny? Mam wziąć $7 mod 36$ czyli $7$ ? Oraz czy liczba elementów grupy, to jest ilość liczb pierwszych począwszy od $1$ do $36$? czyli $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 27, 31$, czyli $11$? Wiadomość była modyfikowana 2015-07-05 19:43:10 przez pitekpwr |
| tumor postów: 8070 | 2015-07-05 20:02:10 Wyszło Ci $31*7+36*(-6)=1$ czyli w terminach przystawania jest to $31*7 \equiv 1 (mod 36)$ zatem 31 i 7 są do siebie odwrotne w pierścieniu $Z_{36}$ Multiplikatywną grupę tego pierścienia tworzą elementy odwracalne, czyli względnie pierwsze z liczbą 36. Bowiem dla takich elementów (oznaczmy je A) istnieje rozwiązanie $Ax+36y=1$ w liczbach całkowitych. Jeśli A i 36 mają dzielnik większy niż 1, to rozwiązania równania nie ma, nie istnieje element odwrotny dla A, czyli A nie należy do grupy multiplikatywnej. |
| pitekpwr postów: 4 | 2015-07-05 20:56:26 Słyszałem ze liczbę elementów grupy należy liczyć funkcją eulera, zgadza się? |
| tumor postów: 8070 | 2015-07-05 21:13:03 Owszem, funkcja $\varphi(n)$ podaje ilość liczb naturalnych względnie pierwszych z n i nie większych niż n. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj