logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 3559

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

sialalam
postów: 47
2015-07-06 10:42:26

Rozwiąż równania różniczkowe:

a) $y' = 2xy + (2x-1)e^x$

b) $y'+ 3x^2y- 5x^2 =0 $


Bardzo dzięĸuję za pomoc i wskazówki na przyszłość co do rozwiązywania


janusz78
postów: 820
2015-07-06 22:29:04

a)
Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego

$y' = 2xy. $

Rozdzielenie zmiennych

$\frac{dy}{y}= 2xdx,$

$\int \frac{dy}{y} =2\int xdx,$

$\ln|y| = 2\frac{x^2}{2} + A,$

$ y_{0} = \pm Ce^{x^2}, C = e^{A}.$

Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego

Metoda uzmiennienia stałej

$C = \phi(x).$

$y = \phi(x)e^{x^2}.$

$y' = \phi'(x)e^{x^2}+ 2x\phi(x)e^{x^2}.$

$\phi'(x)e^{x^2}+ 2x\phi(x)e^{x^2} -2x\phi(x)e^{x^2}=(2x-1)e^{x},$

$\phi'(x)e^{x^2}= (2x-1)e^{x},$

$\phi'(x) = (2x-1)e^{x-x^2}$

$\phi(x) = \int (2x-1)e^{x-x^2}dx,$


$x -x^2 =t,\ \ 1-2x =dt,\ \ 2x -1 =-dt,$

$\phi(x) = -\int e^{t}dt = -e^{t}+ D = -e^{x-x^2}+D.$

$y= (-e^{x-x^2}+D)e^{x^2}=-e^{x}e^{-x^2}e^{x^2}+De^{x^2}= -e^{x}+ De^{x^2}.$

Rozwiązanie równania

$y = -e^{x}+ De^{x^2}.$

b) - tak samą metodą


Wiadomość była modyfikowana 2015-07-08 14:39:07 przez janusz78
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj