Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 3563

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
imagiinee postów: 3	2015-07-06 20:56:38 Pilnie potrzebuję pomocy z rozwiązaniem dwóch równań różniczkowych metodą uzmienniania stałej, byłabym wdzięczna za pomoc :) 1)xy'- 2y = x+1 2)y' + y/x = 3

tumor postów: 8070	2015-07-06 21:14:57 Rozwiązujemy równanie jednorodne $xy`=2y$ $\frac{y`}{y}=\frac{2}{x}$ całkujemy $ln\|y\|=2lnx+c_0$ $y=cx^2=\varphi(x)$ Teraz uzmienniamy stałą c, czyli $y=c(x)x^2$ liczymy pochodną $y`=c`(x)x^2+c(x)2x$ i podstawiamy wszystko do wyjściowego równania $xy`-2y=x+1$ $xc`(x)x^2+c(x)2x^2-2c(x)x^2=x+1$ redukujemy $xc`(x)x^2=x+1$ dzielimy przez $x^3$ $c`(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}$ i całkujemy by wyliczyć $c(x) $ $c(x)=-\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}$ wówczas $y=c(x)x^2=-x-\frac{1}{2}=\phi(x)$ rozwiązaniem równania różniczkowego jest $y=\varphi(x)+\phi(x)=cx^2-x-\frac{1}{2}$ Drugi przykład Ty robisz, my sprawdzamy, czy dobrze. ;)

imagiinee postów: 3	2015-07-06 21:49:15 ok, zrobiłam tak ale pewnie coś jest nie tak :D oznaczenia na wzór tego, co mi na studiach pokazali jak coś y' + y/x = 3 y' + y/x = 0 po całkowaniu: ln\|y\| = -ln\|x\| y= C 1/x y' = C'(y) 1/x + C(y) 1/x^{2} C'(y) + C(y)x + 1/x C(y) = 3x C'(y) = 3x C(y) = 3/2 x^{2} y = 1/x 3/2 x^{2} = 3/2 x y= C 1/x + 3/2 x

tumor postów: 8070	2015-07-06 22:12:50 ja bym robił $y' = C'(x) 1/x -C(x) 1/x^{2}$, bo pochodna z $x^{-1}$ to $-x^{-2}$ następnie $C'(x) 1/x -C(x) 1/x^{2}+C(x)1/x^2=3$ czyli $C`(x)=3x$ $C(x)=3x^2/2$ ostatecznie $y=C\frac{1}{x}+3x/2$ Wynik mamy zatem podobny. Zastanawia mnie jednak, dlaczego masz C'(y) + C(y)x + 1/x C(y) = 3x C'(y) = 3x Bo mi się wcale nie widzi, że pierwsza z tych linii skutkuje drugą. No i zawsze się spotykałem z tym, że C jest funkcją x, a nie y. Ktoś by mi musiał wyjaśnić, dlaczego y.

imagiinee postów: 3	2015-07-06 22:53:46 pewnie miało być x, ale tacy ambitni ludzie mi to usiłowali tłumaczyć :D a te linie, to nie miałam zielonego pojęcia jak to zredukować, więc tak sobie na ślepo wyleciało, a teraz już widzę jak miało być :) grunt, że wynik ok :D

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj