logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3568

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

polastreng
postów: 3
2015-08-04 23:40:19

Ile jest płaszczyzn, które są równo odległe od punktów
A(2,2,1) i B(3,-1,2). Wyznacz równanie tej, która przechodzi przez środek odcinka Ab i jest do niego prostopadła.


janusz78
postów: 820
2015-08-05 19:15:56

Tylko jedna płaszczyzna, jako miejsce geometryczne punktów równo odległych od dwóch danych punktów.

Współrzędne środka S odcinka $\overline{AB}$

$ S( 2.5, 0.5, 1.5)$

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt $ S $ i prostopadłej do $\overline{AB}.$

$\vec{c}\cdot \vec{d}= 0$

$ (3-2)(x-2.5)+ (-1-2)(y-0.5)+ (2-1)(z-1.5)=0.$

$ x - 3y + z- 2.5 = 0.$




tumor
postów: 8070
2015-08-08 15:03:36

Janusz pisze:

--------------------
Tylko jedna płaszczyzna, jako miejsce geometryczne punktów równo odległych od dwóch danych punktów.

Współrzędne środka S odcinka $\overline{AB}$

$ S( 2.5, 0.5, 1.5)$

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt $ S $ i prostopadłej do $\overline{AB}.$

$\vec{c}\cdot \vec{d}= 0$

$ (3-2)(x-2.5)+ (-1-2)(y-0.5)+ (2-1)(z-1.5)=0.$

$ x - 3y + z- 2.5 = 0.$
--------------------



Co za okropna podróba rozwiązania, Januszu. Uczyłeś się kiedyś matmy? Mnie by było wstyd wchodzić na forum po czymś takim. Fuj. Ty mały nieuczku.

Przez dwa punkty przechodzi nieskończenie (nieprzeliczalnie) wiele płaszczyzn, bo tyle płaszczyzn zawiera prostą przechodzącą przez A i B.

Ponadto każda płaszczyzna równoległa do prostej AB, także nie mająca z nią punktu wspólnego, musi być równo oddalona od A i od B. Takich płaszczyzn jest również nieskończenie (nieprzeliczalnie) wiele, bo to płaszczyzny zawierające AB przesunięte w przestrzeni o niezerowy wektor nierównoległy do AB.

---

Prościej ujmując to samo: WSZYSTKIE płaszczyzny prostopadłe do wymienionej przez ciebie także są rozwiązaniami zadania. Co za porażka. Czytaj czasem książki.

Napisałeś o jednej płaszczyźnie, a pominąłeś tylko nieskończenie wiele innych rozwiązań. Brr. Nie mówiąc o tym, że już polecenie sugeruje, że jest ich więcej niż jedna.

-----

I mała uwaga dla autora zadania. Polecam uważać na Janusza. On czasem podaje rozwiązania poprawne, a czasem z niewiadomych przyczyn wypisuje jakieś priwy, gdzie kieruje ludzi do rozwiązań niepoprawnych. Tu obliczenia są poprawne, ale straszna jest pomyłka w nieodróżnianiu miejsca geometrycznego od zbioru płaszczyzn równo odległych od pary punktów (może Janusz nie zna pojęcia odległości punktu od płaszczyzny lub szerzej, odległości między zbiorami). Kolega Janusz przy rozwiązywaniu nie myśli, tylko podstawia do wzorów, czyli jeszcze nie wie nawet, o co chodzi w matematyce. Ale wybaczamy mu, tylko bierzemy poprawkę na tę indolencję.


Wiadomość była modyfikowana 2015-08-08 21:30:45 przez tumor

kebab
postów: 106
2015-08-08 21:30:56

Poza tym wszystkie płaszczyzny przechodzące przez środek odcinka AB są równo odległe od A i B.


tumor
postów: 8070
2015-08-08 21:32:27

o widzisz, też słusznie :) Masz u mnie jakieś tanie piwo, jeśli dasz radę wyjaśnić to Januszowi.


kebab
postów: 106
2015-08-09 22:49:51

Można zrobić dowód analityczny.

Niech P i Q będą punktami o współrzędnych $(x_P,y_P,z_P)$ i $(x_Q,y_Q,z_Q)$
Środek S odcinka PQ ma współrzędne $\left(\frac{x_P+x_Q}{2},\frac{y_P+y_Q}{2},\frac{z_P+z_Q}{2}\right)$
Płaszczyzna m przechodząca przez punkt S ma równanie:
$Ax+By+Cz-A\frac{x_P+x_Q}{2}-B\frac{y_P+y_Q}{2}-C\frac{z_P+z_Q}{2}=0$
$A,B,C \in R$
$A^2+B^2+C^2>0$

Teraz korzystamy ze wzoru na odległość punktu od płaszczyzny (można go znaleźć w każdych dobrych tablicach matematycznych )

$d(P,m)=\frac{|Ax_P+By_P+Cz_P-A\frac{x_P+x_Q}{2}-B\frac{y_P+y_Q}{2}-C\frac{z_P+z_Q}{2}|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\frac{|A\frac{x_P-x_Q}{2}+B\frac{y_P-y_Q}{2}+C\frac{z_P-z_Q}{2}|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

$d(Q,m)=\frac{|Ax_Q+By_Q+Cz_Q-A\frac{x_P+x_Q}{2}-B\frac{y_P+y_Q}{2}-C\frac{z_P+z_Q}{2}|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\frac{|A\frac{x_Q-x_P}{2}+B\frac{y_Q-y_P}{2}+C\frac{z_Q-z_P}{2}|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

$d(P,m)=d(Q,m)$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj