Teoria mnogości, zadanie nr 3574

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
tumor postów: 8070	2015-08-21 18:01:42 Piszesz, że $A \subseteq B$, może sprawdź, czy na pewno tak jest. :) Rozumowanie poza tym jest ok. Dla zupełnej ścisłości można dodać zbiór $D=\{<x,y>:x^2+y^2\le 9\}$ Wówczas jest prawdą $C \subseteq A \subseteq D$ (bo to współśrodkowe koła o rosnących promieniach) i wobec bijekcji $g:C \to D$ o wzorze $f(<x,y>)=<6x,6y>$ mamy $A \sim D$ natomiast podobnie łatwo zrobić bijekcję $h:D\to B$, bo to z kolei tylko translacja, wobec czego wyjdzie także $A\sim B$. W tej chwili zbiór A nieco wystaje poza B i choć są równoliczne, to żaden nie jest podzbiorem drugiego, więc należy być ostrożnym.

geometria postów: 865	2015-08-21 18:29:40 Przed napisaniem sprawdzalem czy odpowiednie zbiory sie w sobie zawieraja ale odrecznie i wydawalo mi sie, ze tak. Teraz narysowalem cyrklem i rzeczywiscie zbior A troche wystaje poza zbior B.

geometria postów: 865	2015-08-22 00:01:05 Udowodnić, że zbiory A={$\lt$x,y$\gt$$\in$$R^{2}$:$x^{2}$+$y^{2}$$\le$1} i B={$\lt$x,y$\gt$$\in$$R^{2}$:$\|x\|\le1 \wedge \|y\|\le1$} sa rownoliczne. Zbior B to kwadrat $[-1,1]\times[-1,1]$. Niech zbior $C=[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]\times[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$. Zatem $C\subseteq$A$\subseteq$B i C$\sim$B, to na podstawie tw. Cantora-Bernsteina A$\sim$B. Funkcja f swiadczaca o rownolicznosci zbiorow C i B, to $f: C\rightarrow$B f($\lt$x,y$\gt$)=<...> dla $x,y\in$C. Teraz chcialbym stworzyc funkcje ustalajaca rownolicznosc tych zbiorow C i B. Zbiory te to kwadraty na plaszczyznie. Stosunek obwodow figur podobnych jest rowny skali podobienstwa. Obliczenie obwodow tych kwadratow nie jest trudne. Obwod kwadratu B wynosi 4(1-(-1))=42=8. Obwod kwadratu C wynosi 4($\frac{1}{2}$-(-$\frac{1}{2}$))=41=4. Skala podobienstwa k=$\frac{8}{4}$=2. I dalej nie mam pomyslu. Zalezaloby mi na stworzeniu ogolnego wzoru funkcji, ktora ustalalaby taka rownolicznosc. Podobnie jak z kolami. -------- $X=[a,b]\times[c,d]$ $Y=[e,f]\times[g,h]$ Obwod X, to 4(\|b-a\|) lub 4(\|d-c\|). Analogicznie obwod zbioru Y. (oczywiscie jezeli zbiory X i Y sa kwadratami) Dalej nie mam pomyslu. Czy moje rozwazania maja sens? Co nalezaloby zrobic w dalszych krokach?

tumor postów: 8070	2015-08-22 07:58:01 Poczytaj o przekształceniach geometrycznych w układzie współrzędnych. Jeśli każdą współrzędną pomnożysz przez k , to każdy odcinek zmieni długość \|k\| razy (a więc i obwód). Będzie to jednokładność o skali k i środku (0,0), W przypadku z zadania, w którym kwadraty mają środki w (0,0), wystarczy $f(<x,y>)=<2x,2y>$ (skalowanie) W przypadku dowolnych dwóch kwadratów, ale zorientowanych względem osi, wystarczy złożenie translacji (czyli przesunięcia do (0,0)), skalowania (do odpowiedniej wielkości) i translacji (przesunięcia w odpowiednie miejsce. W dowolnym przypadku dwóch kwadratów może być jeszcze konieczne dodanie obrotu do powyższych przekształceń. Polecam nie myśleć na początku o wzorach, a o geometrii (te rysunki dla dzieci). Bierzesz kwadrat i żeby się pokrył z innym możesz go przesuwać, obracać i powiększać. To przekształcenia najłatwiejsze. --- Natomiast powtórzę, że zawsze masz ogrom możliwości wśród funkcji nieciągłych albo wśród ciągłych ale zniekształcających. --- A teraz będzie dość ważne rozumowanie teoretyczne. Załóżmy, że masz na płaszczyźnie dowolne dwie figury ograniczone (czyli nie ciągnące się w nieskończoność) zawierające jakiś obszar. Nazwijmy je A, B. Możliwe jest, że mają zupełnie różny kształt. Niech jednak $P_A$ będzie dowolnym punktem wnętrza (nie brzegu) zbioru A, natomiast $P_B$ dowolnym punktem wnętrza zbioru B. Wszystko co będziemy robić to skalowanie z zachowaniem $P_A$ i $P_B$ jako punktów stałych. Poćwicz zapisanie tego wzorem - zmiana wielkości obiektu tak, by zachować położenie dowolnie wybranego punktu i nie przesunąć go. Jeśli będziemy zwiększać (skalować zachowując położenie $P_B$) figurę B odpowiednio, otrzymując figurę C, to w końcu będzie ona dość duża, by przykryć A. Czyli $A\subset C$, no i oczywiście skalowanie jest bijekcją, czyli $B\sim C$. Podobnie jeśli będziemy skalować (zachowując $P_A$) odpowiednio A, otrzymując nową figurę D, to D przykryje C, będzie zatem $A\subset C \subset D$ no i ze skalowania $A\sim D$. Tu już chyba widać, że dowolne dwie figury na płaszczyźnie zawierające obszar (ten warunek nie jest konieczny, ale znacząco ułatwia dowód) są zbiorami równolicznymi. Cały myk tego rozwiązania bierze się stąd, że $P_A$ i $P_B$ były punktami wnętrza, czyli skalując rozszerzaliśmy obszar dowolnie daleko w każdym kierunku, mając pewność, że dowolne zbiory (byle ograniczone) w końcu przykryjemy tak skalowanym zbiorem. ---- Jeszcze inaczej to samo: jeśli masz dwie figury ograniczone A, B zawierające obszary, to umiesz w te obszary wstawić koła C, D tak, aby $C\subset A$ $D\subset B$ Podobnie umiesz zrobić wielkie koło E, które obejmie całe A i całe B, wystarczy wziąć odpowiednio duże. Wtedy $C\subset A \subset E$ $D\subset B \subset E$ no i między kołami umiesz bijekcje robić. Czyli bez problemu $A\sim E, B\sim E$, zatem $A\sim B$ Możesz zatem ćwiczyć obracanie kwadratów, ale jeśli chcesz mieć rozwiązanie jedno i ogólne, to wystarczy na przykład któreś z powyższych. --- A może jeszcze poczytaj o funkcji Peano i wtedy rozszerzysz powyższe rozumowanie nawet na zbiory bez obszarów, choć o nieprzeliczalnej mocy. :) Wiadomość była modyfikowana 2015-08-22 07:59:46 przez tumor

geometria postów: 865	2015-08-22 11:22:04 Dziekuje bardzo.

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj