logowanie

Teoria mnogości, zadanie nr 3574

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

Autor	Zadanie / RozwiÄ zanie
tumor postĂłw: 8070	2015-08-21 18:01:42 Piszesz, Ĺźe $A \subseteq B$, moĹźe sprawdĹş, czy na pewno tak jest. :) Rozumowanie poza tym jest ok. Dla zupełnej ścisłości moĹźna dodać zbiĂłr $D=\{<x,y>:x^2+y^2\le 9\}$ WĂłwczas jest prawdÄ $C \subseteq A \subseteq D$ (bo to współśrodkowe koła o rosnÄ cych promieniach) i wobec bijekcji $g:C \to D$ o wzorze $f(<x,y>)=<6x,6y>$ mamy $A \sim D$ natomiast podobnie łatwo zrobić bijekcję $h:D\to B$, bo to z kolei tylko translacja, wobec czego wyjdzie takĹźe $A\sim B$. W tej chwili zbiĂłr A nieco wystaje poza B i choć sÄ rĂłwnoliczne, to Ĺźaden nie jest podzbiorem drugiego, więc naleĹźy być ostroĹźnym.
geometria postĂłw: 865	2015-08-21 18:29:40 Przed napisaniem sprawdzalem czy odpowiednie zbiory sie w sobie zawieraja ale odrecznie i wydawalo mi sie, ze tak. Teraz narysowalem cyrklem i rzeczywiscie zbior A troche wystaje poza zbior B.
geometria postów: 865	2015-08-22 00:01:05 Udowodnić, że zbiory A={$\lt$x,y$\gt$$\in$$R^{2}$:$x^{2}$+$y^{2}$$\le$1} i B={$\lt$x,y$\gt$$\in$$R^{2}$:$|x|\le1 \wedge |y|\le1$} sa rownoliczne. Zbior B to kwadrat $[-1,1]\times[-1,1]$. Niech zbior $C=[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]\times[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$. Zatem $C\subseteq$A$\subseteq$B i C$\sim$B, to na podstawie tw. Cantora-Bernsteina A$\sim$B. Funkcja f swiadczaca o rownolicznosci zbiorow C i B, to $f: C\rightarrow$B f($\lt$x,y$\gt$)=<...> dla $x,y\in$C. Teraz chcialbym stworzyc funkcje ustalajaca rownolicznosc tych zbiorow C i B. Zbiory te to kwadraty na plaszczyznie. Stosunek obwodow figur podobnych jest rowny skali podobienstwa. Obliczenie obwodow tych kwadratow nie jest trudne. Obwod kwadratu B wynosi 4*(1-(-1))=4*2=8. Obwod kwadratu C wynosi 4*($\frac{1}{2}$-(-$\frac{1}{2}$))=4*1=4. Skala podobienstwa k=$\frac{8}{4}$=2. I dalej nie mam pomyslu. Zalezaloby mi na stworzeniu ogolnego wzoru funkcji, ktora ustalalaby taka rownolicznosc. Podobnie jak z kolami. -------- $X=[a,b]\times[c,d]$ $Y=[e,f]\times[g,h]$ Obwod X, to 4*(|b-a|) lub 4*(|d-c|). Analogicznie obwod zbioru Y. (oczywiscie jezeli zbiory X i Y sa kwadratami) Dalej nie mam pomyslu. Czy moje rozwazania maja sens? Co nalezaloby zrobic w dalszych krokach?
tumor postĂłw: 8070	2015-08-22 07:58:01 Poczytaj o przekształceniach geometrycznych w układzie współrzędnych. Jeśli kaĹźdÄ współrzędnÄ pomnoĹźysz przez k , to kaĹźdy odcinek zmieni długość |k| razy (a więc i obwĂłd). Będzie to jednokładność o skali k i środku (0,0), W przypadku z zadania, w ktĂłrym kwadraty majÄ Ĺ›rodki w (0,0), wystarczy $f(<x,y>)=<2x,2y>$ (skalowanie) W przypadku dowolnych dwĂłch kwadratĂłw, ale zorientowanych względem osi, wystarczy złoĹźenie translacji (czyli przesunięcia do (0,0)), skalowania (do odpowiedniej wielkości) i translacji (przesunięcia w odpowiednie miejsce. W dowolnym przypadku dwĂłch kwadratĂłw moĹźe być jeszcze konieczne dodanie obrotu do powyĹźszych przekształceń. Polecam nie myśleć na poczÄ tku o wzorach, a o geometrii (te rysunki dla dzieci). Bierzesz kwadrat i Ĺźeby się pokrył z innym moĹźesz go przesuwać, obracać i powiększać. To przekształcenia najłatwiejsze. --- Natomiast powtĂłrzę, Ĺźe zawsze masz ogrom moĹźliwości wśrĂłd funkcji nieciÄ głych albo wśrĂłd ciÄ głych ale zniekształcajÄ cych. --- A teraz będzie dość waĹźne rozumowanie teoretyczne. Załóżmy, Ĺźe masz na płaszczyĹşnie dowolne dwie figury ograniczone (czyli nie ciÄ gnÄ ce się w nieskończoność) zawierajÄ ce jakiś obszar. Nazwijmy je A, B. MoĹźliwe jest, Ĺźe majÄ zupełnie róşny kształt. Niech jednak $P_A$ będzie dowolnym punktem wnętrza (nie brzegu) zbioru A, natomiast $P_B$ dowolnym punktem wnętrza zbioru B. Wszystko co będziemy robić to skalowanie z zachowaniem $P_A$ i $P_B$ jako punktĂłw stałych. Poćwicz zapisanie tego wzorem - zmiana wielkości obiektu tak, by zachować połoĹźenie dowolnie wybranego punktu i nie przesunÄ Ä‡ go. Jeśli będziemy zwiększać (skalować zachowujÄ c połoĹźenie $P_B$) figurę B odpowiednio, otrzymujÄ c figurę C, to w końcu będzie ona dość duĹźa, by przykryć A. Czyli $A\subset C$, no i oczywiście skalowanie jest bijekcjÄ , czyli $B\sim C$. Podobnie jeśli będziemy skalować (zachowujÄ c $P_A$) odpowiednio A, otrzymujÄ c nowÄ figurę D, to D przykryje C, będzie zatem $A\subset C \subset D$ no i ze skalowania $A\sim D$. Tu juĹź chyba widać, Ĺźe dowolne dwie figury na płaszczyĹşnie zawierajÄ ce obszar (ten warunek nie jest konieczny, ale znaczÄ co ułatwia dowĂłd) sÄ zbiorami rĂłwnolicznymi. Cały myk tego rozwiÄ zania bierze się stÄ d, Ĺźe $P_A$ i $P_B$ były punktami wnętrza, czyli skalujÄ c rozszerzaliśmy obszar dowolnie daleko w kaĹźdym kierunku, majÄ c pewność, Ĺźe dowolne zbiory (byle ograniczone) w końcu przykryjemy tak skalowanym zbiorem. ---- Jeszcze inaczej to samo: jeśli masz dwie figury ograniczone A, B zawierajÄ ce obszary, to umiesz w te obszary wstawić koła C, D tak, aby $C\subset A$ $D\subset B$ Podobnie umiesz zrobić wielkie koło E, ktĂłre obejmie całe A i całe B, wystarczy wziÄ Ä‡ odpowiednio duĹźe. Wtedy $C\subset A \subset E$ $D\subset B \subset E$ no i między kołami umiesz bijekcje robić. Czyli bez problemu $A\sim E, B\sim E$, zatem $A\sim B$ MoĹźesz zatem ćwiczyć obracanie kwadratĂłw, ale jeśli chcesz mieć rozwiÄ zanie jedno i ogĂłlne, to wystarczy na przykład ktĂłreś z powyĹźszych. --- A moĹźe jeszcze poczytaj o funkcji Peano i wtedy rozszerzysz powyĹźsze rozumowanie nawet na zbiory bez obszarĂłw, choć o nieprzeliczalnej mocy. :) Wiadomość była modyfikowana 2015-08-22 07:59:46 przez tumor
geometria postĂłw: 865	2015-08-22 11:22:04 Dziekuje bardzo.
strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj

© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj