Teoria mnogości, zadanie nr 3591

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
geometria postów: 865	2015-09-04 15:25:01 Wroce jeszcze do poprzedniego zadania. Czy mozna je bylo jeszcze tak rozwiazac? Mam takie twierdzenie: Jesli ($A_{n}$) jest ciagiem zbiorow przeliczalnych, to zbior $\bigcup _{n} A_{n}$ tez jest przeliczalny. Sam zbior A w zadaniu jest nieskonczony. Zbior $\{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\}$ jest skonczony, wiec jest przeliczalny. $A_{k}=\{\frac{\pi}{6}+2k\pi, \frac{5\pi}{6}+2k\pi\}$ jest ciagiem zbiorow przeliczalnych. Niech $A=\bigcup _{k\in Z} \{\frac{\pi}{6}+2k\pi, \frac{5\pi}{6}+2k\pi\}$, wiec jest to suma zbiorow przeliczalnych, ktora tez jest przeliczalna (na podstawie tego twierdzenia). Zatem zbior A jest przeliczalny.

tumor postów: 8070	2015-09-04 18:05:59 Ciągiem nazywamy raczej funkcję o dziedzinie $N$, czyli Twoje $k$ musiałoby być naturalne, a nie całkowite. Poprawnie będzie na przykład $A_k=\{\frac{1}{6}\pi+2k\pi, \frac{5}{6}\pi+2k\pi, \frac{-7}{6}\pi-2k\pi, \frac{-11}{6}\pi-2k\pi,\}$ bo wówczas masz indeksowanie $k\in N$. --- Twoje rozwiązanie jest dobre, jeśli skorzystamy z faktu nieco ogólniejszego: dowolna przeliczalna suma (a więc można indeksować także po $Z$) zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.

geometria postów: 865	2015-09-04 21:27:38 Dziekuje. A wracajac do ostatniego zadania to zamiast bijekcji mozna to udowodnic odpowiednim komentarzem? Bo takie wyjscie byloby dla mnie lepsze.

tumor postów: 8070	2015-09-04 22:18:29 W matematyce? Można. Ma być to poprawne rozumowanie przy użyciu dobrze zdefiniowanych pojęć. Wtedy matematycy uznają. Wzory nie są najważniejsze. :) Natomiast jeśli wykładowca wymaga czegoś innego, to trzeba się dostosować do jego wymagań. Rzucaj tu ideę dowodu. Jeśli będzie trzeba uściślać, to jakoś ogarniemy.

geometria postów: 865	2015-09-05 21:02:48 Np. majac przedzial $[-\pi,0]$ albo $[0, \pi]$, ... Wartosci wymierne funkcji sinus na kazdym z tych przedzialow sa zbiorami przeliczalnymi (bo $Q$ jest przeliczalny), wiec zbior argumentow tez jest przeliczalny.

tumor postów: 8070	2015-09-05 21:07:55 Jest to prawda, podobnie jak jest prawdą "sinus tylko dla przeliczalnie wielu argumentów ma wymierne wartości, BO TAK". :) Dlaczego akurat przedział $[0,\pi]$? Czemu taki? Czemu dla takiego przedziału jest widoczne, Twoim zdaniem, że wartości wymiernych będzie przeliczalnie wiele? (w sensie: musi to być bardziej widoczne niż sam fakt, który za pomocą tej obserwacji wykazujesz)

geometria postów: 865	2015-09-06 15:11:02 Przedzial byl przykladowy. -------------- Zbior argumentow na przedziale, ktory jest jednym okresem jest przeliczalny. Dziedzina funkcji sinus, czyli zbior $R$ zawiera przeliczalna liczbe takich przedzialow.

tumor postów: 8070	2015-09-06 15:32:20 O ile mnie pamięć nie myli, to dowodziłeś, że $[0,\pi]$ jest nieprzeliczalny. Zbiór argumentów jest nieprzeliczalny. Masz UDOWODNIĆ, że zbiór argumentów KTÓRYM FUNKCJA sinus PRZYPORZĄDKOWUJE WARTOŚCI WYMIERNE jest przeliczalnym podzbiorem tego NIEPRZELICZALNEGO zbioru argumentów. Mylisz argumenty z wartościami funkcji? --- Dowód polega na tym, by rzeczy trudne uzasadnić łatwymi. Masz dwie rzeczy: a) sinus tylko przeliczalnie wielu argumentom z R przyporządkowuje wartości wymierne. b) sinus tylko przeliczalnie wielu argumentom z $[0,\pi]$ przyporządkowuje wartości wymierne. Owszem. Oba te zdania są prawdziwe. Ja się pytam, dlaczego uznałeś, że drugie jest o tyle łatwiejsze, że nadaje się do uzasadnienia pierwszego. Czemu nie uzasadniłeś tego na przykład przedziałem $[121234234,8293847238794982]$ w którym sinus też tylko dla przeliczalnie wielu argumentów przyjmuje wartości wymierne, albo prawdziwą uwagą, że sinus przyjmuje wartości algebraiczne tylko dla przeliczalnie wielu argumentów przestępnych (a z tej prawdy teza wynika natychmiast!). Dlaczego ten przedział? Dlaczego to sprawia, że nagle wszystko jest jasne? Rozumiesz, o co ja pytam? Trudne uzasadnia się łatwym. A ja nie wiem, dlaczego swoje uzasadnienie masz za łatwiejsze od tezy, którą dowodzisz.

geometria postów: 865	2015-09-06 15:43:49 Nie za bardzo rozumiem Twoich pytan.

geometria postów: 865	2015-09-06 17:32:07 Pogubilem sie juz w tym zadaniu.

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj