logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3596

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

dziulek
postów: 6
2015-09-07 16:04:51

Rozwiąż zagadnienie początkowe :
a) y"-4y=10e^3x , y(0)= 3, y'(0)= -1

b) y"- 2y'+ y = e^2x, y(0)= 2, y'(0)= -3


janusz78
postów: 820
2015-09-07 19:32:25

Metod rozwiązania równań różniczkowych zwyczajnych rzędu II o stałych współczynnikach jest wiele.

Proponuję metodę przewidywań.

a)
Równanie charakterystyczne:
$ r^2 - 4 =0,\ \ r_{1}=-2, \ \ r_{2}=2.$

RORJ:

$y_{0}= C_{1}e^-{2x}+ C_{2}e^{2x}.$

Przewidujemy rozwiązanie szczególne równania nie jednrodnego
(RSRN) w postaci

$ y_{s}= Ae^{3x}$

$y'_{s}= 3Ae^{3x},\ \ y"_{s}= 9Ae^{3x}.$

$9Ae^{3x}-4Ae^{3x}= 10e^{3x}.$

$5Ae^{3x}= 10e^{3x},\ \ 5A =10, \ \ A=2.$

RORN
$y = y_{0}+y_{s}= C_{1}e^{-2x}+C_{2}e^{2x}+ 2e^{3x}.$

Z warunków początkowych znajdujemy stałe $ C_{1}, \ \ C_{2}.$

$3= C_{1} e^{0}+C_{2}e^{0}+ 2e^{0},$

$C_{1}+C_{2} = 3-2 =1 $ (1)

$y'= -2C_{1}e^{-2x}+ 2C_{2}e^{2x}+ 6e^{2x}.$

$-1 =-2C_{1}e^{0}+2C_{2}e^{0}+6e^{0},$

$ -2C_{1}+2C_{2}= -7$ (2)

Z równań (1), (2)

$C_{1}= \frac{9}{4}, \ \ C_{2}= -\frac{5}{4}.$

Rozwiązanie Cauchy ( rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego)

$y =\frac{9}{4}e^{-2x}- \frac{5}{4}e^{2x}+ 2e^{3x}.$

Podobnie, a nawet identycznie rozwiązujemy równanie b).



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 16 drukuj