Analiza matematyczna, zadanie nr 3596
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
dziulek post贸w: 6 |  2015-09-07 16:04:51Rozwi膮偶 zagadnienie pocz膮tkowe : a) y\"-4y=10e^3x , y(0)= 3, y\'(0)= -1 b) y\"- 2y\'+ y = e^2x, y(0)= 2, y\'(0)= -3 |
janusz78 post贸w: 820 | 2015-09-07 19:32:25 Metod rozwi膮zania r贸wna艅 r贸偶niczkowych zwyczajnych rz臋du II o sta艂ych wsp贸艂czynnikach jest wiele. Proponuj臋 metod臋 przewidywa艅. a) R贸wnanie charakterystyczne: $ r^2 - 4 =0,\ \ r_{1}=-2, \ \ r_{2}=2.$ RORJ: $y_{0}= C_{1}e^-{2x}+ C_{2}e^{2x}.$ Przewidujemy rozwi膮zanie szczeg贸lne r贸wnania nie jednrodnego (RSRN) w postaci $ y_{s}= Ae^{3x}$ $y\'_{s}= 3Ae^{3x},\ \ y\"_{s}= 9Ae^{3x}.$ $9Ae^{3x}-4Ae^{3x}= 10e^{3x}.$ $5Ae^{3x}= 10e^{3x},\ \ 5A =10, \ \ A=2.$ RORN $y = y_{0}+y_{s}= C_{1}e^{-2x}+C_{2}e^{2x}+ 2e^{3x}.$ Z warunk贸w pocz膮tkowych znajdujemy sta艂e $ C_{1}, \ \ C_{2}.$ $3= C_{1} e^{0}+C_{2}e^{0}+ 2e^{0},$ $C_{1}+C_{2} = 3-2 =1 $ (1) $y\'= -2C_{1}e^{-2x}+ 2C_{2}e^{2x}+ 6e^{2x}.$ $-1 =-2C_{1}e^{0}+2C_{2}e^{0}+6e^{0},$ $ -2C_{1}+2C_{2}= -7$ (2) Z r贸wna艅 (1), (2) $C_{1}= \frac{9}{4}, \ \ C_{2}= -\frac{5}{4}.$ Rozwi膮zanie Cauchy ( rozwi膮zanie szczeg贸lne r贸wnania niejednorodnego) $y =\frac{9}{4}e^{-2x}- \frac{5}{4}e^{2x}+ 2e^{3x}.$ Podobnie, a nawet identycznie rozwi膮zujemy r贸wnanie b). |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj