logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3599

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

oktawa
postów: 4
2015-09-07 17:51:06

1. Niech $f:(a,b)\rightarrow(0,\infty)$ będzie taką funkcją, że złożenie $ln\circ f$ jest wypukłe. Pokazać, że $f$ jest wypukła.

2. Wykazawszy, że $\ln x <\frac{x}{e}$ dla $x\in(0, \infty)\backslash ${e} rozstrzygnąć, która z liczb $e^{\pi}$ czy $\pi^{e}$ jest większa.

3. Znaleźć ekstrema globalne funkcji $f:(0, \infty) \rightarrow R$ danej wzorem $f(x) = x^{x}, x\in(0, \infty)$


tumor
postów: 8070
2015-09-07 18:00:26

3. $x^x=e^{xlnx}$

$f`(x)=e^{xlnx}(lnx+1)$ zeruje się dla $x=e^{-1}$ i nigdzie indziej.
Tam minimum. Wartości największej brak, co dość oczywiste biorąc pod uwagę ciąg $n^n$


tumor
postów: 8070
2015-09-07 18:52:57

2) $\frac{x}{e}-lnx$ ma silne minimum w $x=e$ i to jedyne minimum lokalne, jest w $(0,e)$ malejąca i w $(e,\infty)$ rosnąca, wobec tego poza $x=e$ jest $\frac{x}{e}>lnx$

mamy zatem $ln \pi^e=eln \pi<e*\frac{\pi}{e}=\pi$
zatem $\pi^e<e^\pi$


janusz78
postów: 820
2015-09-07 20:41:32



1)
Z założenia i definicji wypukłości funkcji

$(ln\circ f)((1-t)x +ty)\leq (1-t)(ln\circ f)(x)+t(\ln\circ f)(y),$

$ ln(f(1-t)x +ty))\leq \ln((1-t)f(x)+t f(y))$ (1)

dla dowolnych

$(x, y)\in (a, b)$ i $0\leq t\leq 1.$

Funkcja logarytm jest funkcją rosnącą w swojej dziedzinie$ (0, \infty),$

zatem z (1) wynika, że

$f(1-t)x +ty)\leq (1-t)f(x)+ t f(y).$

Czyli $ f $ jest funkcją wypukłą.

c.b.d.o.

Udowodniliśmy szczególny przypadek ogólniejszego twierdzenia

Jeżeli złożenie funkcji $(g\circ f)$ jest funkcją wypukłą i funkcja $ g $ jest funkcją rosnącą, to funkcja $ f $ jest wypukła.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 14 drukuj