Analiza matematyczna, zadanie nr 3599

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
oktawa postów: 4	2015-09-07 17:51:06 1. Niech $f:(a,b)\rightarrow(0,\infty)$ będzie taką funkcją, że złożenie $ln\circ f$ jest wypukłe. Pokazać, że $f$ jest wypukła. 2. Wykazawszy, że $\ln x <\frac{x}{e}$ dla $x\in(0, \infty)\backslash ${e} rozstrzygnąć, która z liczb $e^{\pi}$ czy $\pi^{e}$ jest większa. 3. Znaleźć ekstrema globalne funkcji $f:(0, \infty) \rightarrow R$ danej wzorem $f(x) = x^{x}, x\in(0, \infty)$

tumor postów: 8070	2015-09-07 18:00:26 3. $x^x=e^{xlnx}$ $f`(x)=e^{xlnx}(lnx+1)$ zeruje się dla $x=e^{-1}$ i nigdzie indziej. Tam minimum. Wartości największej brak, co dość oczywiste biorąc pod uwagę ciąg $n^n$

tumor postów: 8070	2015-09-07 18:52:57 2) $\frac{x}{e}-lnx$ ma silne minimum w $x=e$ i to jedyne minimum lokalne, jest w $(0,e)$ malejąca i w $(e,\infty)$ rosnąca, wobec tego poza $x=e$ jest $\frac{x}{e}>lnx$ mamy zatem $ln \pi^e=eln \pi<e*\frac{\pi}{e}=\pi$ zatem $\pi^e<e^\pi$

janusz78 postów: 820	2015-09-07 20:41:32 1) Z założenia i definicji wypukłości funkcji $(ln\circ f)((1-t)x +ty)\leq (1-t)(ln\circ f)(x)+t(\ln\circ f)(y),$ $ ln(f(1-t)x +ty))\leq \ln((1-t)f(x)+t f(y))$ (1) dla dowolnych $(x, y)\in (a, b)$ i $0\leq t\leq 1.$ Funkcja logarytm jest funkcją rosnącą w swojej dziedzinie$ (0, \infty),$ zatem z (1) wynika, że $f(1-t)x +ty)\leq (1-t)f(x)+ t f(y).$ Czyli $ f $ jest funkcją wypukłą. c.b.d.o. Udowodniliśmy szczególny przypadek ogólniejszego twierdzenia Jeżeli złożenie funkcji $(g\circ f)$ jest funkcją wypukłą i funkcja $ g $ jest funkcją rosnącą, to funkcja $ f $ jest wypukła.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj