Algebra, zadanie nr 3601

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
oktawa postów: 4	2015-09-08 10:56:11 Wykazawszy, że $\sin x < x$ dla $x \in (0,1]$ zbadać zbieżność ciągu funkcyjnego $f_n:= f \circ f \circ ... \circ f$ (n razy) , $n \in N$, gdzie $f:= \sin_{[0,1]}$.

oktawa postów: 4	2015-09-08 10:59:26 Przepraszam za pomyłkę, zadanie z analizy matematycznej, nie z algebry...

tumor postów: 8070	2015-09-08 12:49:59 $0=sin0$ oraz $(x-sinx)`=1-cosx>0$, zatem $sinx<x$ dla $x>0$. Ustalmy $\epsilon\in (0,1)$. Rozważmy prostą $g(x)=\frac{2sin\frac{\epsilon}{2}}{\epsilon}x$ Rozumując jak wcześniej mamy $g(\frac{\epsilon}{2})=sin\frac{\epsilon}{2}$ oraz $g(x)>sinx$ dla $x>\frac{\epsilon}{2}.$ Oznaczmy $k:=\frac{2sin\frac{\epsilon}{2}}{\epsilon}$ Wobec tego dla $sin1<k$ Niech n takie, że $\frac{\epsilon}{2}\le k^n< \epsilon$ jest $f_n(1)<\epsilon$ oraz z monotoniczności sinusa: $f_n(x)<\epsilon$ dla $x\in (0,1]$ oczywiście dla większych n ostatnia nierówność spełniona jest także.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj