logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 3601

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

oktawa
postów: 4
2015-09-08 10:56:11

Wykazawszy, że $\sin x < x$ dla $x \in (0,1]$ zbadać zbieżność ciągu funkcyjnego $f_n:= f \circ f \circ ... \circ f$ (n razy) , $n \in N$, gdzie $f:= \sin_{[0,1]}$.


oktawa
postów: 4
2015-09-08 10:59:26

Przepraszam za pomyłkę, zadanie z analizy matematycznej, nie z algebry...


tumor
postów: 8070
2015-09-08 12:49:59

$0=sin0$ oraz $(x-sinx)`=1-cosx>0$, zatem $sinx<x$ dla $x>0$.

Ustalmy $\epsilon\in (0,1)$.
Rozważmy prostą

$g(x)=\frac{2sin\frac{\epsilon}{2}}{\epsilon}x$
Rozumując jak wcześniej mamy
$g(\frac{\epsilon}{2})=sin\frac{\epsilon}{2}$ oraz $g(x)>sinx$ dla $x>\frac{\epsilon}{2}.$
Oznaczmy $k:=\frac{2sin\frac{\epsilon}{2}}{\epsilon}$
Wobec tego dla $sin1<k$
Niech n takie, że $\frac{\epsilon}{2}\le k^n< \epsilon$
jest $f_n(1)<\epsilon$ oraz z monotoniczności sinusa:
$f_n(x)<\epsilon$ dla $x\in (0,1]$
oczywiście dla większych n ostatnia nierówność spełniona jest także.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 24 drukuj