logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3606

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

karola1010
postów: 46
2015-09-08 17:36:00

Oblicz moment bezwładności obszaru D określonego 4<=$x^{2}$+$y^{2}$<=18 ,x <=O względem osi symetrii


janusz78
postów: 820
2015-09-08 22:09:16

Obliczymy geometryczny moment bezwładności względem osi $Oy$, traktując obszar$D $ jako jednorodny płaski pierścień o gęstości powierzchniowej $\rho(x,y)\equiv 1.$

Z definicji momentu bezwładności

$B_{y}= \int_{D}dist^2(x,p)\rho(x,y)dl_{2}= \int_{D}dist^2(x,0)\cdot 1dl_{2} $ (1)

Całkę podwójną (1) obliczymy, wprowadzając współrzędne biegunowe

$\phi \left(\theta,\ \ r \right)= \left(r\cos(\theta), r\sin(\theta)\right).$

Jakobian tego przekształcenia

$det \left( D\phi(\theta, r)\right)=r.$

Niech $ G = \left\{(\theta, r): 0<\theta< 2\pi,\ \ 2< r< 3\sqrt{2} \right\}.$

Wtedy
$\phi(G)= R^2 -\left\{(r,0): r< 0\right\}$

przekształca dyfeomorficznie zbiór

$ G $ na zbiór $ \phi(G)$

i zgodnie z twierdzeniem o zamianie zmiennych w całce podwójnej

oraz twierdzeniem Guido Fubiniego

$B_{y}=\int_{D} dist^2(x,0)\cdot 1 dl_{2}=\int_{G} dist^2\circ \phi|det(D\phi)dl_{2} =\int_{0}^{2\pi}\int_{2}^{3\sqrt{2}} r^2\cdot r dr.$

$B_{y}= 2\pi \frac{1}{4}\left( r^4 \right)_{2}^{3\sqrt{2}}= 154\pi.$

Wiadomość była modyfikowana 2015-09-08 22:16:12 przez janusz78
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 20 drukuj