Analiza matematyczna, zadanie nr 3606
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
karola1010 postów: 46 | 2015-09-08 17:36:00 Oblicz moment bezwładności obszaru D określonego 4<=$x^{2}$+$y^{2}$<=18 ,x <=O względem osi symetrii |
janusz78 postów: 820 | 2015-09-08 22:09:16 Obliczymy geometryczny moment bezwładności względem osi $Oy$, traktując obszar$D $ jako jednorodny płaski pierścień o gęstości powierzchniowej $\rho(x,y)\equiv 1.$ Z definicji momentu bezwładności $B_{y}= \int_{D}dist^2(x,p)\rho(x,y)dl_{2}= \int_{D}dist^2(x,0)\cdot 1dl_{2} $ (1) Całkę podwójną (1) obliczymy, wprowadzając współrzędne biegunowe $\phi \left(\theta,\ \ r \right)= \left(r\cos(\theta), r\sin(\theta)\right).$ Jakobian tego przekształcenia $det \left( D\phi(\theta, r)\right)=r.$ Niech $ G = \left\{(\theta, r): 0<\theta< 2\pi,\ \ 2< r< 3\sqrt{2} \right\}.$ Wtedy $\phi(G)= R^2 -\left\{(r,0): r< 0\right\}$ przekształca dyfeomorficznie zbiór $ G $ na zbiór $ \phi(G)$ i zgodnie z twierdzeniem o zamianie zmiennych w całce podwójnej oraz twierdzeniem Guido Fubiniego $B_{y}=\int_{D} dist^2(x,0)\cdot 1 dl_{2}=\int_{G} dist^2\circ \phi|det(D\phi)dl_{2} =\int_{0}^{2\pi}\int_{2}^{3\sqrt{2}} r^2\cdot r dr.$ $B_{y}= 2\pi \frac{1}{4}\left( r^4 \right)_{2}^{3\sqrt{2}}= 154\pi.$ Wiadomość była modyfikowana 2015-09-08 22:16:12 przez janusz78 |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj