logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Geometria, zadanie nr 3607

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

sevastian1897
postów: 9
2015-09-09 08:52:47

Witam Mam problem z kilkoma zadaniami. Byłbym wdzięczny każdemu kto mógłby pokazać mi jak te przykładny rozwiązać.

Zad 1.Wyznaczyć odległości między prostymi L1:$\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{-1} i L2:\frac{x+1}{-2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}$.(nie korzystając z wzoru)

Zad 2.Obliczyć pole powierzchni równoległoboku ABCD oraz znaleźć wierzchołek D, jeżeli A(1,0,5), B(-2,3,10), C(5,1,-1).

Zad 3.Chodzi tutaj o całkę trzeba ją wyznaczyć tylko nie wiem czy dobrze to zrobiłem.$\int\frac{lnx+2}{xln^{2}x-2x}*dx$


janusz78
postów: 820
2015-09-09 13:27:38

Zad.1
Zauważmy, że proste $ L_{1}, L_{2}$ nie są równoległe, bo składowe wektorów kierunkowych tych prostych nie są proporcjonalne.

Znajdujemy równanie płaszczyzny $\pi$ przechodzącej przez prostą $ L_{2}$ i równoległej do prostej $L_{1}.$

Metoda I

Szukana płaszczyzna przechodzi przez przez prostą $L_{2}$ wobec tego

$ A(x+1)+By +C(z-1)=0,\ \ A^2+B^2 +C^2 >0$ (1)

$-2A +1B +1C =0 $ (2)

Ponieważ płaszczyzna ma być rrównoległa do prostej $L_{1}$ więc

$3A + 2B - c=0 $ (3)

Otrzymaliśmy układ jednorodny trzech równań liniowych, który ma niezerowe rozwiązanie wtedy i tylko wtedy,gdy jego wyznacznik jest równy $0.$

$\left\|\begin{matrix} x+1&y&z-1\\ -2&1&1 \\3&2&-1 \end{matrix}\right\|= 0.$

Rozwijając ten wyznacznik na przykład według pierwszego wiersza otrzymujemy

$ -3x+ y -7z +4 = 0 |\cdot (-1)$

$\pi: 3x -y +7z- 4 =0.$

Metoda II

Sprowadzamy prostą $ L_{2}$ do postaci krawędziowej

$ x+2y +1 =0,\ \ y-z + 1 =0.$

Piszemy równanie pęku płaszczyzn przechodzących przez prostą $L_{2}.$

$ x+2y +1 +k(y-z+1)=0,$
$x +(k+2)y -kz +k+1 =0 $ (4)

Ponieważ płaszczyzna (4) ma być równoległa do prostej $L_{1} $. to z warunku równoległości

$ 3\cdot1 +2(k+2) +k=0,$

$ k =-\frac{7}{3} $(5)

Podstawiając (5) do (4)

$ x -\frac{1}{3}y +\frac{7}{3}z -\frac{4}{3}=0.$

$\pi: 3x -y + 7z -4 =0.$

Wybieramy dowolny punkt $ P $ na prostej $L_{1}.$

Na przykład $P = (8,3,-1)$

Znajdujemy odległość punktu $ P $ od płaszczyzny $\pi$

$d = \frac{|8\cdot 3 - 1\cdot 3 -1\cdot 7- 4\|}{\sqrt{9+1+49}}= \frac{10}{\sqrt{59}}= \frac{10\sqrt{59}}{59},$

Jeśli mamy nie korzystać ze wzoru na odległość punktu od płaszczyzny, to znajdujemy równanie parametryczne prostej $ L $ prostopadłej do płaszczyzny $\pi$ i przechodzącej przez punkt $ P.$

Wektor prostopadły płaszczyzny$\pi $ jest wektorem kierunkowym prostej$ L. $

$x = 8+3t,\ \ y = 3 -t, \ \ z =-1+7t.$

Obliczamy współrzędne punktu $ P_{0}$ przebicia prostą $L $ płaszczyznę $ \pi$

$3(8+3t)-(3-t)+7(-1+7t)-4 =0, \ \ t =-\frac{10}{59}.$

$x_{0}= 8 -\frac{30}{59}= \frac{242}{59}.$

$y_{0}= 3 + \frac{10}{59}= \frac{187}{59}$

$z_{0}= -1 -\frac{70}{59}= -\frac{129}{59}.$

$ d = \sqrt{( 8- \frac{242}{59})^2 + (3 -\frac{187}{59})^2 + (- 1 + \frac{129}{59})^2}.$


Wiadomość była modyfikowana 2015-09-09 13:40:22 przez janusz78

tumor
postów: 8070
2015-09-09 15:14:21

2.

Operując wektorami mamy oczywiście
$A+\vec{BC}=D=(1,0,5)+[7,-2,-11]=(8,-2,-6)$

Analogicznie na przykład $D=C+\vec{BA}$, wynik ten sam.

Pole równoległoboku można na wiele sposobów liczyć. Licealnie - przez policzenie długości wektorów i kąta między nimi (z iloczynu skalarnego).

Ale może sobie zrobimy przez iloczyn wektorowy.

Wektory $\vec{AB},\vec{AD}$ rozpinają równoległobok. Ich współrzędne to odpowiednio:
$[-3,3,5], [7,-2,-11]$
Pole równoległoboku jest długością ich iloczynu wektorowego (wynikiem tego iloczynu jest wektor).
$[-3,3,5]\times [7,-2,-11]=|\left[\begin{matrix} i&j&k \\ -3&3&5 \\ 7&-2&-11\end{matrix}\right]|=|i(-23)+j(2)+k(-15)|=\sqrt{529+4+225}$

----

Można też policzyć pole trójkąta ze wzoru Herona (mamy współrzędne trzech wierzchołków, czyli trójkąt, a pole równoległoboku będzie dwa razy większe od pola trójkąta).

Można też przez macierz Grama. Milion sposobów. Hehe. Nawet można całkować.



tumor
postów: 8070
2015-09-09 15:29:05

3.
Podstawiamy
$x=e^t$
$lnx=t$
$dx=e^tdt$ otrzymując całkę
$\int \frac{e^t(t+2)}{e^t(t^2-2)}dt$

$\int \frac{(t+2)}{(t^2-2)}dt$
liczymy rozkładając na ułamki proste

$\frac{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}{t-\sqrt{2}}+\frac{\frac{1-\sqrt{2}}{2}}{t+\sqrt{2}}$


sevastian1897
postów: 9
2015-09-09 17:40:49

Wow Dziękuje za pomoc :) Nie sądziłem że można te zadania w taki sposób rozwiązać.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 19 drukuj