Geometria, zadanie nr 3607
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
sevastian1897 post贸w: 9 |  2015-09-09 08:52:47Witam Mam problem z kilkoma zadaniami. By艂bym wdzi臋czny ka偶demu kto m贸g艂by pokaza膰 mi jak te przyk艂adny rozwi膮za膰. Zad 1.Wyznaczy膰 odleg艂o艣ci mi臋dzy prostymi L1:$\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{-1} i L2:\frac{x+1}{-2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}$.(nie korzystaj膮c z wzoru) Zad 2.Obliczy膰 pole powierzchni r贸wnoleg艂oboku ABCD oraz znale藕膰 wierzcho艂ek D, je偶eli A(1,0,5), B(-2,3,10), C(5,1,-1). Zad 3.Chodzi tutaj o ca艂k臋 trzeba j膮 wyznaczy膰 tylko nie wiem czy dobrze to zrobi艂em.$\int\frac{lnx+2}{xln^{2}x-2x}*dx$ |
janusz78 post贸w: 820 | 2015-09-09 13:27:38 Zad.1 Zauwa偶my, 偶e proste $ L_{1}, L_{2}$ nie s膮 r贸wnoleg艂e, bo sk艂adowe wektor贸w kierunkowych tych prostych nie s膮 proporcjonalne. Znajdujemy r贸wnanie p艂aszczyzny $\pi$ przechodz膮cej przez prost膮 $ L_{2}$ i r贸wnoleg艂ej do prostej $L_{1}.$ Metoda I Szukana p艂aszczyzna przechodzi przez przez prost膮 $L_{2}$ wobec tego $ A(x+1)+By +C(z-1)=0,\ \ A^2+B^2 +C^2 >0$ (1) $-2A +1B +1C =0 $ (2) Poniewa偶 p艂aszczyzna ma by膰 rr贸wnoleg艂a do prostej $L_{1}$ wi臋c $3A + 2B - c=0 $ (3) Otrzymali艣my uk艂ad jednorodny trzech r贸wna艅 liniowych, kt贸ry ma niezerowe rozwi膮zanie wtedy i tylko wtedy,gdy jego wyznacznik jest r贸wny $0.$ $\left\|\begin{matrix} x+1&y&z-1\\ -2&1&1 \\3&2&-1 \end{matrix}\right\|= 0.$ Rozwijaj膮c ten wyznacznik na przyk艂ad wed艂ug pierwszego wiersza otrzymujemy $ -3x+ y -7z +4 = 0 |\cdot (-1)$ $\pi: 3x -y +7z- 4 =0.$ Metoda II Sprowadzamy prost膮 $ L_{2}$ do postaci kraw臋dziowej $ x+2y +1 =0,\ \ y-z + 1 =0.$ Piszemy r贸wnanie p臋ku p艂aszczyzn przechodz膮cych przez prost膮 $L_{2}.$ $ x+2y +1 +k(y-z+1)=0,$ $x +(k+2)y -kz +k+1 =0 $ (4) Poniewa偶 p艂aszczyzna (4) ma by膰 r贸wnoleg艂a do prostej $L_{1} $. to z warunku r贸wnoleg艂o艣ci $ 3\cdot1 +2(k+2) +k=0,$ $ k =-\frac{7}{3} $(5) Podstawiaj膮c (5) do (4) $ x -\frac{1}{3}y +\frac{7}{3}z -\frac{4}{3}=0.$ $\pi: 3x -y + 7z -4 =0.$ Wybieramy dowolny punkt $ P $ na prostej $L_{1}.$ Na przyk艂ad $P = (8,3,-1)$ Znajdujemy odleg艂o艣膰 punktu $ P $ od p艂aszczyzny $\pi$ $d = \frac{|8\cdot 3 - 1\cdot 3 -1\cdot 7- 4\|}{\sqrt{9+1+49}}= \frac{10}{\sqrt{59}}= \frac{10\sqrt{59}}{59},$ Je艣li mamy nie korzysta膰 ze wzoru na odleg艂o艣膰 punktu od p艂aszczyzny, to znajdujemy r贸wnanie parametryczne prostej $ L $ prostopad艂ej do p艂aszczyzny $\pi$ i przechodz膮cej przez punkt $ P.$ Wektor prostopad艂y p艂aszczyzny$\pi $ jest wektorem kierunkowym prostej$ L. $ $x = 8+3t,\ \ y = 3 -t, \ \ z =-1+7t.$ Obliczamy wsp贸艂rz臋dne punktu $ P_{0}$ przebicia prost膮 $L $ p艂aszczyzn臋 $ \pi$ $3(8+3t)-(3-t)+7(-1+7t)-4 =0, \ \ t =-\frac{10}{59}.$ $x_{0}= 8 -\frac{30}{59}= \frac{242}{59}.$ $y_{0}= 3 + \frac{10}{59}= \frac{187}{59}$ $z_{0}= -1 -\frac{70}{59}= -\frac{129}{59}.$ $ d = \sqrt{( 8- \frac{242}{59})^2 + (3 -\frac{187}{59})^2 + (- 1 + \frac{129}{59})^2}.$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2015-09-09 13:40:22 przez janusz78 |
tumor post贸w: 8070 | 2015-09-09 15:14:21 2. Operuj膮c wektorami mamy oczywi艣cie $A+\vec{BC}=D=(1,0,5)+[7,-2,-11]=(8,-2,-6)$ Analogicznie na przyk艂ad $D=C+\vec{BA}$, wynik ten sam. Pole r贸wnoleg艂oboku mo偶na na wiele sposob贸w liczy膰. Licealnie - przez policzenie d艂ugo艣ci wektor贸w i k膮ta mi臋dzy nimi (z iloczynu skalarnego). Ale mo偶e sobie zrobimy przez iloczyn wektorowy. Wektory $\vec{AB},\vec{AD}$ rozpinaj膮 r贸wnoleg艂obok. Ich wsp贸艂rz臋dne to odpowiednio: $[-3,3,5], [7,-2,-11]$ Pole r贸wnoleg艂oboku jest d艂ugo艣ci膮 ich iloczynu wektorowego (wynikiem tego iloczynu jest wektor). $[-3,3,5]\times [7,-2,-11]=|\left[\begin{matrix} i&j&k \\ -3&3&5 \\ 7&-2&-11\end{matrix}\right]|=|i(-23)+j(2)+k(-15)|=\sqrt{529+4+225}$ ---- Mo偶na te偶 policzy膰 pole tr贸jk膮ta ze wzoru Herona (mamy wsp贸艂rz臋dne trzech wierzcho艂k贸w, czyli tr贸jk膮t, a pole r贸wnoleg艂oboku b臋dzie dwa razy wi臋ksze od pola tr贸jk膮ta). Mo偶na te偶 przez macierz Grama. Milion sposob贸w. Hehe. Nawet mo偶na ca艂kowa膰. |
tumor post贸w: 8070 | 2015-09-09 15:29:05 3. Podstawiamy $x=e^t$ $lnx=t$ $dx=e^tdt$ otrzymuj膮c ca艂k臋 $\int \frac{e^t(t+2)}{e^t(t^2-2)}dt$ $\int \frac{(t+2)}{(t^2-2)}dt$ liczymy rozk艂adaj膮c na u艂amki proste $\frac{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}{t-\sqrt{2}}+\frac{\frac{1-\sqrt{2}}{2}}{t+\sqrt{2}}$ |
sevastian1897 post贸w: 9 | 2015-09-09 17:40:49 Wow Dzi臋kuje za pomoc :) Nie s膮dzi艂em 偶e mo偶na te zadania w taki spos贸b rozwi膮za膰. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj